Гиперболические числа
Двойны́е чи́сла, или паракомпле́ксные чи́сла, расщепля́емые компле́ксные чи́сла, компле́ксные чи́сла гиперболи́ческого ти́па, контркомпле́ксные чи́сла[1] — гиперкомплексные числа вида «a + j · b», где a и b — вещественные числа и причём j ≠ ±1.
Определение
[править | править код]Алгебраическое определение
[править | править код]Любое двойное число можно представить как упорядоченную пару вещественных чисел Сложение и умножение определяются по правилам:
Числа вида отождествляются с вещественными числами, а Тогда соответствующие тождества принимают вид:
Матричное представление
[править | править код]Двойные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению и умножению двойных чисел будут соответствовать сложение и умножение соответствующих матриц:
Арифметические операции
[править | править код]- Сложение:
- Вычитание:
- Умножение:
- Деление на число, не являющееся делителем нуля:
Свойства
[править | править код]- где sh и ch — гиперболические синус и косинус.
Двойные числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем вещественных чисел. Алгебра двойных чисел содержит делители нуля (то есть такие ненулевые элементы z и w, что zw = 0) и поэтому, в отличие от алгебры комплексных чисел, не является полем. Все делители нуля имеют вид
Если взять и то
- и
Любое двойное число может быть представлено как сумма где и — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно.
Таким образом, алгебра двойных чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел.
Применение
[править | править код]Двойные числа иногда применяются в релятивистской кинематике.