Дискретное косинусное преобразование: различия между версиями

[отпатрулированная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Текущая версия от 23:24, 19 марта 2022

Дискретное косинусное преобразование (англ. Discrete Cosine Transform, DCT) — одно из ортогональных преобразований. Вариант косинусного преобразования для вектора действительных чисел. Применяется в алгоритмах сжатия информации с потерями, например, MPEG и JPEG. Это преобразование тесно связано с дискретным преобразованием Фурье и является гомоморфизмом его векторного пространства.

Данное преобразование является линейным, поэтому его результат можно вычислить при помощи умножения матрицы преобразования и вектора. Матрица ДКП является ортогональной (обратная матрица равна транспонированной), поэтому обратное преобразование вычисляется с помощью умножения транспонированной матрицы ДКП на вектор. На практике используется вариант ДКП с матрицей, пропорциональной ортогональной (получающейся из ортогональной умножением на константу).

Различные периодические продолжения сигнала ведут к различным типам ДКП. Ниже приводятся матрицы для первых четырёх типов ДКП:

\mathrm {DCT} {\text{-}}1_{n}=\left[\cos(kl{\tfrac {\pi }{n-1}})\right]_{0\leq k,l<n}

\mathrm {DCT} {\text{-}}2_{n}=\left[\cos(k(l+{\tfrac {1}{2}}){\tfrac {\pi }{n}})\right]_{0\leq k,l<n}

\mathrm {DCT} {\text{-}}3_{n}=\left[\cos((k+{\tfrac {1}{2}})l{\tfrac {\pi }{n}})\right]_{0\leq k,l<n}

\mathrm {DCT} {\text{-}}4_{n}=\left[\cos((k+{\tfrac {1}{2}})(l+{\tfrac {1}{2}}){\tfrac {\pi }{n}})\right]_{0\leq k,l<n}

Именно $\mathrm {DCT} {\text{-}}2$ чаще всего встречается в практических приложениях благодаря свойству «уплотнения энергии».

$\mathrm {DCT}$ для вектора из 8 чисел часто называют $\mathrm {DCT} {\text{-}}2_{8}$ . Наиболее распространён двумерный вариант преобразования для матриц 8x8, состоящий из последовательности $\mathrm {DCT} {\text{-}}2_{8}$ сначала для каждой строки, а затем для каждого столбца матрицы.

Существуют алгоритмы быстрого $\mathrm {DCT}$ -преобразования, похожие на алгоритм быстрого преобразования Фурье. Для $\mathrm {DCT} {\text{-}}2_{8}$ и других вариантов $\mathrm {DCT}$ с фиксированной размерностью вектора существуют также алгоритмы, позволяющие свести количество операций умножения к минимуму.

Существуют аналоги $\mathrm {DCT}$ , приближающие косинус числами, легко получающимися путём небольшого количества операций сдвига и сложения, что позволяет избежать операций умножения и тем самым повысить скорость вычислений.

Литература

C. Loeffler, A. Ligtenberg and G. Moschytz. Practical Fast 1-D DCT Algorithms with 11 Multiplications // Proc. Int’l. Conf. on Acoustics, Speech, and Signal Processing 1989 (ICASSP '89), pp. 988—991.

Ссылки

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Дискретное косинусное преобразование''' ({{lang-en|Discrete Cosine Transform }}— сокр. DCT) — одно из [[ортогональное преобразование|ортогональных преобразований]]. Вариант [[косинусное преобразование|косинусного преобразования]] для вектора действительных чисел. Применяется в алгоритмах сжатия информации с потерями, например, [[MPEG]] и [[JPEG]]. Это преобразование тесно связано с [[Дискретное преобразование Фурье|Дискретным преобразованием Фурье]] и является [[гомоморфизм]]ом его векторного пространства.
+'''Дискретное косинусное преобразование''' ({{lang-en|Discrete Cosine Transform, DCT}}) — одно из [[ортогональное преобразование|ортогональных преобразований]]. Вариант [[косинусное преобразование|косинусного преобразования]] для вектора действительных чисел. Применяется в алгоритмах сжатия информации с потерями, например, [[MPEG]] и [[JPEG]]. Это преобразование тесно связано с [[Дискретное преобразование Фурье|дискретным преобразованием Фурье]] и является [[гомоморфизм]]ом его векторного пространства.
+Данное преобразование является [[Линейное преобразование|линейным]], поэтому его результат можно вычислить при помощи умножения [[матрица (математика)|матрицы]] преобразования и вектора. Матрица ДКП является [[Ортогональная матрица|ортогональной]] (обратная матрица равна транспонированной), поэтому обратное преобразование вычисляется с помощью умножения транспонированной матрицы ДКП на вектор. На практике используется вариант ДКП с матрицей, пропорциональной ортогональной (получающейся из ортогональной умножением на константу).
-Математически преобразование можно осуществить умножением вектора на [[матрица (математика)|матрицу]] преобразования. При этом матрица обратного преобразования с точностью до множителя равна [[транспонирование|транспонированной]] матрице. В математике матрицы выбирают так, чтобы преобразование было ортонормированным, а постоянный множитель равен единице. В компьютерных приложениях это не всегда так.
-Различные периодические продолжения сигнала ведут к различным типам ДКП. Ниже приводятся матрицы для первых четырех типов ДКП:
+Различные периодические продолжения сигнала ведут к различным типам ДКП. Ниже приводятся матрицы для первых четырёх типов ДКП:
-<math>\mathrm{DCT}\text{-}1_n= \left[\cos kl\tfrac{\pi}{n-1}\right]_{0\leq k,l<n} </math>
+:<math>\mathrm{DCT}\text{-}1_n= \left[\cos (kl\tfrac{\pi}{n-1})\right]_{0\leq k,l<n} </math>
-<math>\mathrm{DCT}\text{-}2_n= \left[\cos k(l+\tfrac{1}{2})\tfrac{\pi}{n}\right]_{0\leq k,l<n} </math>
+:<math>\mathrm{DCT}\text{-}2_n= \left[\cos (k(l+\tfrac{1}{2})\tfrac{\pi}{n})\right]_{0\leq k,l<n} </math>
-<math>\mathrm{DCT}\text{-}3_n= \left[\cos (k+\tfrac{1}{2})l\tfrac{\pi}{n}\right]_{0\leq k,l<n} </math>
+:<math>\mathrm{DCT}\text{-}3_n= \left[\cos ((k+\tfrac{1}{2})l\tfrac{\pi}{n})\right]_{0\leq k,l<n} </math>
-<math>\mathrm{DCT}\text{-}4_n= \left[\cos (k+\tfrac{1}{2})(l+\tfrac{1}{2})\tfrac{\pi}{n}\right]_{0\leq k,l<n} </math>
+:<math>\mathrm{DCT}\text{-}4_n= \left[\cos ((k+\tfrac{1}{2})(l+\tfrac{1}{2})\tfrac{\pi}{n})\right]_{0\leq k,l<n} </math>
 Именно <math>\mathrm{DCT}\text{-}2</math> чаще всего встречается в практических приложениях благодаря свойству «уплотнения энергии».
@@ Строка 19: / Строка 19: @@
 Существуют алгоритмы быстрого <math>\mathrm{DCT}</math>-преобразования, похожие на алгоритм [[Быстрое преобразование Фурье|быстрого преобразования Фурье]]. Для <math>\mathrm{DCT}\text{-}2_8</math> и других вариантов <math>\mathrm{DCT}</math> с фиксированной размерностью вектора существуют также алгоритмы, позволяющие свести количество операций умножения к минимуму.
-Существуют аналоги <math>\mathrm{DCT}</math>, приближающие косинус числами, легко получающимися путём небольшого количества операций сдвига и сложения, что позволяет избежать операций умножения и тем самым повысить эффективность вычислений. Преимущество таких аналогов — более высокая скорость.
+Существуют аналоги <math>\mathrm{DCT}</math>, приближающие косинус числами, легко получающимися путём небольшого количества операций сдвига и сложения, что позволяет избежать операций умножения и тем самым повысить скорость вычислений.
+== Литература ==
-'''Пример быстрого алгоритма прямого DCT8''' — см. ''Источник: C. Loeffler, A. Ligtenberg and G. Moschytz, «Practical Fast 1-D DCT Algorithms with 11 Multiplications», Proc. Int’l. Conf. on Acoustics, Speech, and Signal Processing 1989 (ICASSP '89), pp. 988—991.''
+* C. Loeffler, A. Ligtenberg and G. Moschytz. Practical Fast 1-D DCT Algorithms with 11 Multiplications // Proc. Int’l. Conf. on Acoustics, Speech, and Signal Processing 1989 (ICASSP '89), pp. 988—991.
 == Ссылки ==
@@ Строка 31: / Строка 32: @@
 . Написать формулы. 2. Рассказать про shift-вариант подробнее и где исползуется, или дать ссылку. 3. Привести source code для быстрого варианта преобразования.
 -->
 {{compu-stub}}
 {{math-stub}}
@@ Строка 41: / Строка 43: @@
 [[Категория:Математический анализ]]
 [[Категория:Цифровая обработка сигналов]]
-[[ar:تحويل جيب التمام المتقطع]]
-[[ca:Transformada Cosinus Discreta]]
-[[cs:Diskrétní kosinová transformace]]
-[[de:Diskrete Kosinustransformation]]
-[[en:Discrete cosine transform]]
-[[es:Transformada de coseno discreta]]
-[[eu:Kosinuaren transformatu diskretu]]
-[[fr:Transformée en cosinus discrète]]
-[[hu:Diszkrét koszinusz-transzformáció]]
-[[it:Trasformata discreta del coseno]]
-[[ja:離散コサイン変換]]
-[[kn:ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್‌ ಕೊಸೈನ್‌ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮ್]]
-[[ko:이산 코사인 변환]]
-[[nl:Discrete cosinustransformatie]]
-[[pl:Dyskretna transformacja kosinusowa]]
-[[pt:Transformada discreta de cosseno]]
-[[ro:Transformata cosinus discretă]]
-[[simple:Discrete cosine transform]]
-[[sr:Дискретна косинус трансформација]]
-[[sv:Diskret cosinustransform]]
-[[te:వివిక్త కొసైన్ పరివర్తనం]]
-[[th:การแปลงโคไซน์ไม่ต่อเนื่อง]]
-[[zh:离散余弦变换]]

Дискретное косинусное преобразование: различия между версиями

Текущая версия от 23:24, 19 марта 2022

Литература

Ссылки

Навигация

Поиск