Редактирование: Истинная аномалия

'''Истинная аномалия''' в [[Небесная механика|небесной механике]] — угловой [[Элементы орбиты|параметр]], определяющий положение тела, движущегося по Кеплеровой [[Орбита|орбите]]. Это угол между направлениями на [[перицентр]] и текущее положение тела, измеряемый из фокуса эллипса (точки, вокруг которой движется тело).

Истинная аномалия обычно обозначается греческими буквами {{mvar|ν}} или {{mvar|θ}} или латинской буквой {{mvar|f}} и обычно ограничивается до диапазона 0–360° (0–2π радиан).
[[Файл:Eccentric and True Anomaly.svg|мини|Истинная аномалия точки ''P'' — угол ''f''. Центр эллипса — точка ''C'', фокус — точка ''F''.]]
Истинная аномалия {{mvar|f}} — один из трёх угловых параметров (''аномалий''), определяющих положение тела на орбите. Другие два — [[эксцентрическая аномалия]] и [[средняя аномалия]].

==Формулы==

===Через векторы состояния===
Для эллиптических орбит '''истинная аномалия''' {{mvar|ν}} может быть вычислена через [[орбитальные векторы состояния]] как:

:<math> \nu = \arccos { {\mathbf{e} \cdot \mathbf{r}} \over { \mathbf{\left |e \right |} \mathbf{\left |r \right |} }}</math>
::(если {{nowrap|'''r''' ⋅ '''v''' < 0}}, следует заменить {{mvar|ν}} на {{nowrap|2{{pi}} − {{mvar|ν}}}})

где: 
* '''v''' — [[Вектор скорости|вектор орбитальной скорости]] тела,
* '''e''' — [[вектор эксцентриситета]],
* '''r''' — [[радиус-вектор]] тела (отрезок ''FP'' на рисунке).

====Круговая орбита====
Для [[Круговая орбита|круговых орбит]] истиная аномалия не определена, потому что у круговой орбиты нет однозначно определённого перицентра. Вместо этого используют [[аргумент широты]] ''u'':

:<math> u = \arccos { {\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}} \over { \mathbf{\left |n \right |} \mathbf{\left |r \right |} }}</math>
::(если {{nowrap|''r<sub>z</sub>'' < 0}}, следует заменить {{nowrap|''u'' на 2{{pi}} − ''u''}})

где:
* '''n''' — вектор, направленный на [[восходящий узел]] (т. е. его ''z''-компонента '''n''' равна нулю).
* ''r<sub>z</sub>'' — ''z''-компонента радиус-вектора '''r'''

====Круговая орбита с нулевым наклонением====
Для круговых орбит с нулевым наклонением аргумент широты также не определён, поскольку нет однозначно определённой линии узлов. Вместо этого используют [[Истинная долгота|истинную долготу]]:

:<math> l = \arccos { r_x  \over { \mathbf{\left |r \right |}}}</math>
::(если {{nowrap|''v<sub>x</sub>'' > 0}}, следует заменить {{mvar|l}} на {{nowrap|2{{pi}} − {{mvar|l}}}})

где:
* ''r<sub>x</sub>'' — ''x''-компонента радиус-вектора '''r'''
* ''v<sub>x</sub>'' — ''x''-компонента вектора скорости '''v'''.

===Через эксцентрическую аномалию===
Связь между истинной аномалией {{mvar|ν}} и [[Эксцентрическая аномалия|эксцентрической аномалией]] <math>E</math>:

:<math>\cos{\nu} = {{\cos{E} - e} \over {1 - e \cos{E}}}</math>

или, используя синус<ref>Fundamentals of Astrodynamics and Applications by David A. Vallado</ref> и тангенс:

:<math>\begin{align}
                                    \sin{\nu} &= {{\sqrt{1 - e^2\,} \sin{E}} \over {1 - e \cos{E}}} \\[4pt]
  \tan{\nu} = {{\sin{\nu}} \over {\cos{\nu}}} &= {{\sqrt{1 - e^2\,} \sin{E}} \over {\cos{E} -e}}
\end{align}</math>

что эквивалентно:

:<math>\tan{\nu \over 2} = \sqrt{{{1 + e\,} \over {1-e\,}}} \tan{E \over 2}</math>,

то есть

:<math>\nu = 2 \, \operatorname{arctan}\left(\, \sqrt{{{1 + e\,} \over {1 - e\,}}} \tan{E \over 2} \, \right)</math>.

В качестве альтернативы была получена<ref>{{cite journal | last1=Broucke | first1=R. | last2=Cefola | first2=P. | title=A Note on the Relations between True and Eccentric Anomalies in the Two-Body Problem | journal=Celestial Mechanics | year=1973 | volume=7 | issue=3 | issn=0008-8714 | doi=10.1007/BF01227859 | pages=388–389 | url=https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1973CeMec...7..388B/abstract | bibcode=1973CeMec...7..388B| s2cid=122878026 }}</ref> форма этого уравнения, позволяющая избежать проблем при аргументах, близких к <math>\pm\pi</math>, когда оба тангенса стремятся к бесконечности. К тому же, поскольку <math>\frac{E}{2}</math> и <math>\frac{\nu}{2}</math> всегда лежат в одном квадранте, не будет никаких проблем со знаками. 

:<math>\tan{\frac{1}{2}(\nu - E)} = \frac{\beta\sin{E}}{1 - \beta\cos{E}}</math>, ге <math> \beta = \frac{e}{1 + \sqrt{1 - e^2}} </math>,

следовательно,
:<math>\nu = E + 2\operatorname{arctan}\left(\,\frac{\beta\sin{E}}{1 - \beta\cos{E}}\,\right)</math>.

===Через среднюю аномалию===
Истинная аномалия может быть вычислена напрямую из [[Средняя аномалия|средней аномалии]] <math>M</math> с помощью [[Ряд Фурье|ряда Фурье]]:<ref name="Battin 1999 p. 212">{{cite book | last=Battin | first=R.H. | title=An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics | publisher=American Institute of Aeronautics & Astronautics | series=AIAA Education Series | year=1999 | isbn=978-1-60086-026-3 | url=https://books.google.com/books?id=OjH7aVhiGdcC&pg=PA212 | access-date=2022-08-02 | page=212 (Eq. (5.32))}}</ref>

:<math>\nu = M + 2 \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} \left[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(-ke)\beta^{|k+n|} \right] \sin{kM}</math>
с [[Функции Бесселя|функцией Бесселя]] <math>J_n</math> и параметром <math>\beta = \frac{1-\sqrt{1-e^2}}{e}</math>.

Опуская все члены порядка <math>e^4</math> и выше (на это указывает <math>\operatorname{\mathcal{O}}\left(e^4\right)</math>), это можно записать как<ref name="Battin 1999 p. 212" /><ref name="Smart p.">{{cite book | last=Smart | first=W. M. | title=Textbook on Spherical Astronomy | year=1977 | url=https://wangsajaya.files.wordpress.com/2015/02/textbook-on-spherical-astronomy-smart-6ed-1977.pdf | bibcode=1977tsa..book.....S | page=120 (Eq. (87))}}</ref><ref>{{cite book |last=Roy |first=A.E. |title=Orbital Motion |url=https://forum.fh-aachen.org/cms/index.php?attachment%2F9683-orbital-motion-fourth-edition-pdf%2F#page=78&zoom=100,0,0 |year=2005 |location=Bristol, UK; Philadelphia, PA |publisher=Institute of Physics (IoP) |edition=4 |page=78 (Eq. (4.65)) |isbn=0750310154 |bibcode=2005ormo.book.....R |access-date=2020-08-29 |archive-date=2021-05-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210515142200/https://forum.fh-aachen.org/cms/index.php?attachment%2F9683-orbital-motion-fourth-edition-pdf%2F#page=78&zoom=100,0,0 |url-status=dead }}</ref>

:<math>\nu = M + \left(2e - \frac{1}{4} e^3\right) \sin{M} + \frac{5}{4} e^2 \sin{2M} + \frac{13}{12} e^3 \sin{3M} + \operatorname{\mathcal{O}}\left(e^4\right).</math>

Из соображений точности это приближение обычно ограничивается орбитами, где [[эксцентриситет]] <math>e</math> мал.

Выражение <math>\nu - M</math> называется [[Уравнение центра|уравнением центра]].

===Расстояние через истинную аномалию===
Расстояние между фокусом и телом связано с истинной аномалией формулой

:<math>r = a\,{1 - e^2 \over 1 + e \cos\nu}\,\!</math>,

где ''a'' — [[большая полуось]] орбиты.

==См. также==
* [[Законы Кеплера]]
* [[Эксцентрическая аномалия]]
* [[Средняя аномалия]]
* [[Эллипс]]
* [[Гипербола (математика)|Гипербола]]

==Примечания==
{{reflist}}

==Литература==
* Murray, C. D. & Dermott, S. F., 1999, ''Solar System Dynamics'', Cambridge University Press, Cambridge. {{ISBN|0-521-57597-4}}
* Plummer, H. C., 1960, ''An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy'', Dover Publications, New York. {{OCLC|1311887}} (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition.)

== Ссылки ==

* [https://www.faa.gov/about/office_org/headquarters_offices/avs/offices/aam/cami/library/online_libraries/aerospace_medicine/tutorial/media/III.4.1.4_Describing_Orbits.pdf Federal Aviation Administration - Describing Orbits]
[[Категория:Элементы орбиты]]