Пифагорово простое число
Пифагорово простое число — простое число вида . Название связано с представимостью таких чисел в виде суммы двух квадратов (по аналогии с теоремой Пифагора): теорема Ферма — Эйлера утверждает, что эти простые могут быть представлены в виде суммы двух квадратов однозначно (с точностью до порядка), и что никакие другие простые числа не могут быть представлены таким образом, за исключением . Все эти простые (включая 2) являются нормой гауссовых целых чисел, в то время как другие простые таковыми не являются.
Пифагоровых простых бесконечно много, первые такие числа[1]:
Квадратичный закон взаимности утверждает, что если и — различные простые нечётные числа, и по крайней мере одно из них пифагорово, то является квадратичным вычетом по модулю только тогда, когда — квадратичный вычет по модулю ; и наоборот, если ни , ни не являются пифагоровыми, то является квадратичным вычетом по модулю тогда и только тогда, когда является квадратным невычетом по модулю .
В поле с пифагоровым простым уравнение имеет два решения.
Примечания
Литература
- Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960. — 375 с.
- Серпинский В. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. — М.: Физматгиз, 1940. — С. 40, 53—56.
- Сендеров В. А., Спивак А. В. Суммы квадратов и целые гауссовы числа // Квант. — 1999. — № 3. — С. 14—22.
- Dickson L. E. Vol. II. — Ch. VI. Sum of two squares // History of the Theory of Numbers. — N. Y.: Dover Publications, 2005.