Правильный семиугольник

Правильный семиугольник

Правильный семиугольник — это правильный многоугольник с семью сторонами.

Свойства

Пусть $t$ — сторона семиугольника, $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности.

$t=2R\sin {\frac {\pi }{7}}=2r\operatorname {tg} {\frac {\pi }{7}}~;~r=R\cos {\frac {\pi }{7}}$,

Периметр правильного семиугольника равен

$P=7t=14R\sin {\frac {\pi }{7}}=14r\operatorname {tg} {\frac {\pi }{7}}$.

Площадь правильного семиугольника рассчитывается по формулам:

$S={\frac {7}{4}}t^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{7}}$,

$S={\frac {7}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{7}}$,

$S=7r^{2}\operatorname {tg} {\frac {\pi }{7}}$.

Построение

Приближённое построение правильного семиугольника

Точное

Согласно теореме Гаусса — Ванцеля, правильный семиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки, но можно построить с помощью циркуля и размеченной линейки то есть линейки, на которой можно делать отметки и с помощью которой можно проводить прямые, проходящие через какую-нибудь точку, причём отмеченные на линейке точки будут принадлежать данным линиям (прямым или окружностям).

Приближённое

Приближённое (но с достаточной для практики точностью ≈0,2 %) построение семиугольника показано на рисунке. Из точки $A$ на окружности радиусом, равным радиусу окружности, проводим дугу $BOC$. Отрезок $BD={1 \over 2}BC$ и даст искомое приближение.

Семиугольные звёзды

Семиугольная звезда 7/2

Семиугольная звезда 7/3

Существует два звёздчатых семиугольника (гептаграммы): 7/2 и 7/3. Методы их построения аналогичны построению обычного семиугольника, только вершины нужно соединять через одну (7/2) или через две (7/3).

Применение

В Великобритании используются две монеты в форме семиугольника: 50 пенсов и 20 пенсов. Строго говоря, форма монет — криволинейный семиугольник, образующий кривую постоянной ширины, чтобы монеты плавно проходили в автоматы.

Семиугольная звезда 7/2 являлась национальным символом Грузии и применялась, как элемент герба Грузии, в том числе и в советское время. В настоящее время не применяется.

Семиугольная звезда 7/3 является эмблемой компании A.P. Moller-Maersk Group.