Редактирование: Правильный семиугольник

{{К улучшению|2024-06-08}}
{{Многоугольник
|название=Семиугольник
|изображение=Regular heptagon 1.svg
|подпись=Правильный семиугольник
|тип=[[Правильный многоугольник]]
|рёбра=7
|шлефли={7}
|диаграмма={{CDD|node_1|7|node}}
|симметрия=[[Диэдрическая группа]] (D<sub>7</sub>)
|площадь=<math>\frac{7}{4} t^2 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{7}</math><br><math>= \frac{7}{2} R^2 \sin \frac{2 \pi}{7}</math><br><math>= 7 r^2 \operatorname{tg}\frac{\pi}{7}</math>.|угол=≈128.571°
|свойства= [[Выпуклый многоугольник|выпуклый]], [[Описанная окружность|вписанный]], [[Равносторонний многоугольник|Равносторонний]], {{не переведено 5|Равноугольная фигура|равноугольный||Isogonal figure}}, {{не переведено 5|Изотоксальная фигура|изотоксальный||isotoxal figure}} 
}}
'''Правильный семиугольник''' — [[правильный многоугольник]] [[Семиугольник|с семью сторонами]]<ref name="fxyz">{{cite web|title=fxyz|url=https://www.fxyz.ru/%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B_%D0%BF%D0%BE_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8/%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%84%D0%B8%D0%B3%D1%83%D1%80%D1%8B/%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B8%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA/|website=Правильный семиугольник|access-date=2024-08-15|archive-date=2024-06-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20240615170119/https://www.fxyz.ru/%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B_%D0%BF%D0%BE_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8/%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%84%D0%B8%D0%B3%D1%83%D1%80%D1%8B/%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B8%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA/|url-status=live}}</ref>.

Диагонали d1 и d2 связаны со стороной a правильного семиугольника соотношением 1/d1+1/d2=1/a.

== Свойства ==
[[Файл:Neusis-heptagon.png|thumb|200px|Построение правильного семиугольника с помощью [[невсис]]а]]

Пусть <math>t</math> — сторона семиугольника, <math>R</math> — [[радиус]] описанной [[окружность|окружности]], <math>r</math> — радиус вписанной окружности.

: <math>t = 2R \sin \frac{\pi}{7} = 2r \operatorname{tg} \frac{\pi}{7} ~;~ r = R \cos \frac{\pi}{7}</math>,
Периметр правильного семиугольника равен
: <math>P = 7 t = 14 R \sin \frac{\pi}{7} = 14 r \operatorname{tg} \frac{\pi}{7}</math>.

Площадь правильного семиугольника рассчитывается по формулам:
: <math>S = \frac{7}{4} t^2 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{7}</math>,
: <math>S = \frac{7}{2} R^2 \sin \frac{2 \pi}{7}</math>,
: <math>S = 7 r^2 \operatorname{tg}\frac{\pi}{7}</math>.

== Построение ==
[[Файл:7-gone approx.png|right|thumb|200px|Приближённое построение правильного семиугольника]]

=== Точное ===
Согласно [[Теорема Гаусса — Ванцеля|теореме Гаусса — Ванцеля]], правильный семиугольник невозможно [[Построение с помощью циркуля и линейки|построить с помощью циркуля и линейки]], но можно построить с помощью циркуля и [[невсис]]а, то есть размеченной линейки, на которой можно делать отметки и с помощью которой можно проводить прямые, проходящие через какую-нибудь точку, причём отмеченные на линейке точки будут принадлежать данным линиям (прямым или окружностям).

Построим квадрат ''PQRO'' со стороной ''a'' (см. рис.). Проведём дугу окружности с центром ''O'' и радиусом ''OQ''. Возьмём линейку невсиса с диастемой (длиной) ''a'' и используя вертикальную ось симметрии квадрата в качестве направляющей, точку ''P'' в качестве полюса и дугу окружности в качестве целевой линии, получим отрезок ''AB'', который будет стороной правильного семиугольника, с вертикальной осью симметрии, совпадающей с осью симметрии квадрата.

=== Приближённое ===
Приближённое (но с достаточной для практики точностью ≈0,2 %) построение семиугольника показано на рисунке. Из точки <math>A</math> на окружности радиусом, равным радиусу окружности, проводим дугу <math>BOC</math>. Отрезок <math>BD = {1 \over 2}BC</math> и даст искомое приближение.

[[Файл:Approximated Heptagon Inscribed in a Circle.gif|300px|thumb|Анимация приближённого построения правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки.]]

== Семиугольные звёзды ==
Существует два [[Звёздчатый многоугольник|звёздчатых]] семиугольника (гептаграммы): 7/2 и 7/3. Методы их построения аналогичны построению обычного семиугольника, только вершины нужно соединять через одну (7/2) или через две (7/3).
<gallery>
Файл:7-2-star.png|Семиугольная звезда 7/2
Файл:7-3-star.png|Семиугольная звезда 7/3</gallery>

== Применение ==
[[Файл:England 50 pence 2000.jpg|thumb|150 пкс|слева|Семиугольная монета в 50 пенсов (150 лет Публичной библиотеке)]]
В [[Великобритания|Великобритании]] используются две монеты в форме семиугольника: 50 [[пенс]]ов и 20 пенсов. Строго говоря, форма монет — криволинейный семиугольник, образующий [[Кривая постоянной ширины|кривую постоянной ширины]], чтобы монеты плавно проходили в [[Торговый автомат|автоматы]]. Семиугольный кант аналогичной криволинейной формы имеет круглая монета номиналом в 10 [[киргизский сом|киргизских сом]].

Семиугольная звезда 7/2 являлась национальным символом [[Грузия|Грузии]] и применялась, как элемент [[Герб Грузии|герба Грузии]], в том числе и в [[СССР|советское]] время. В настоящее время не применяется.

Семиугольная звезда 7/3 является эмблемой компании [[A.P. Moller-Maersk Group]].

== Примечания ==
{{примечания}}


{{geometry-stub}}
{{нет ссылок|дата=2022-06-06}}

{{Многоугольники}}
{{Символ Шлефли}}

[[Категория:Правильные многоугольники|7]]