Расстояние Минковского

Расстояние Минковского (метрика Минковского) — параметрическая метрика на евклидовом пространстве, которую можно рассматривать как обобщение евклидова расстояния и расстояния городских кварталов. Названа в честь немецкого математика Германа Минковского, впервые систематически изучившего данное семейство функций расстояния.

Расстояние Минковского порядка $p$ между двумя точками определяется как:

$\rho (x,y)=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{1/p}$.

Для $p\geqslant 1$ расстояние Минковского является метрикой вследствие неравенства Минковского.

Для $p<1$ расстояние не является метрикой, поскольку нарушается неравенство треугольника.

В приложениях чаще всего используют функцию расстояния с параметром $p$, равным 1 (расстояние городских кварталов) или 2 (евклидова метрика).

При $p=\infty$ метрика обращается в расстояние Чебышёва.

Единичная окружность при различных значениях параметра $p$ расстояния Минковского

Схожая параметрическая конструкция в функциональном анализе — пространства $L^{p}$, где подобным образом вводится норма на функциональных пространствах.