Теорема Линдемана — Вейерштрасса: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Функция «Добавить ссылку»: добавлена 1 ссылка. |
Maxal (обсуждение | вклад) м откат правок Nella.hohlova (обс.) к версии Шагдаш Мар Метка: откат |
||
Строка 35: | Строка 35: | ||
== Литература == |
== Литература == |
||
* {{книга |автор=[[Ленг, Серж|Ленг С.]] |заглавие=Алгебра |место= Москва |издательство=Мир |год=1968|страниц=564 |}} |
* {{книга |автор=[[Ленг, Серж|Ленг С.]] |заглавие=Алгебра |место= Москва |издательство=Мир |год=1968|страниц=564 |}} |
||
* ''Шидловский А. Б.'' « |
* ''Шидловский А. Б.'' «Диофантовы приближения и трансцендентные числа» (М. ФИЗМАТЛИТ, 2007) ISBN 978-5-9221-0720-4 |
||
[[Категория:Теория чисел]] |
[[Категория:Теория чисел]] |
Версия от 16:07, 16 августа 2022
Теорема Линдемана — Вейерштрасса, являющаяся обобщением теоремы Линдемана, доказывает трансцендентность большого класса чисел. Теорема утверждает следующее[1]:
Если — различные алгебраические числа, линейно независимые над , то являются алгебраически независимыми над , то есть, степень трансцендентности расширения равна |
Часто используется другая эквивалентная формулировка[2]:
Для любых различных алгебраических чисел числа являются линейно независимыми над полем алгебраических чисел . |
История
В 1882 году Линдеман доказал, что трансцендентно для любого ненулевого алгебраического [3], а в 1885 году Карл Вейерштрасс доказал более общее утверждение, приведённое выше.
Из теоремы Линдемана — Вейерштрасса легко следует трансцендентность чисел e и π.
Доказательство трансцендентности π
Применим метод доказательства от противного. Предположим, число является алгебраическим. Тогда число , где — мнимая единица, также алгебраично, следовательно, по теореме Линдемана — Вейерштрасса число трансцендентно, однако согласно тождеству Эйлера оно равно алгебраическому числу , что вызывает противоречие. Следовательно, число трансцендентно.
Ссылки
- ↑ Weisstein, Eric W. Lindemann–Weierstrass theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Alan Baker. Transcendental Number Theory. — Cambridge University Press, 1975. — ISBN 052139791X.. Chapter 1, Theorem 1.4.
- ↑ F. Lindemann. Über die Zahl π (нем.) // Mathematische Annalen. — Bd. 20 (1882). — S. 213—225.
Литература
- Ленг С. Алгебра. — Москва: Мир, 1968. — 564 с.
- Шидловский А. Б. «Диофантовы приближения и трансцендентные числа» (М. ФИЗМАТЛИТ, 2007) ISBN 978-5-9221-0720-4