Топологическое кольцо
Топологическое кольцо — кольцо, снабжённое естественной топологией.
Определения
[править | править код]Топологическое кольцо — кольцо с топологией, относительно которой сложение и умножение непрерывны.
В определении топологического поля дополнительно требуется, что взятие обратного непрерывно во всех элементах кроме 0.
Примеры
[править | править код]Топологические кольца
[править | править код]- Кольцо непрерывных вещественно-значных функций на топологическом пространстве с топологией поточечной сходимости.
- Кольцо непрерывных линейных операторов на нормированном пространстве;
- Банахова алгебра.
- Двойные, дуальные и другие гиперкомплексные числа.
Топологические поля
[править | править код]- рациональные, вещественные, комплексные и р-адические числа.
- Локальное поле
Свойства
[править | править код]- Пополнение топологического кольца даёт полное топологическое кольцо.
- Группа единиц топологического кольца образуют топологическую группу, с топологией индуцированной вложением в .
- Однако если группа снабжена топологией как подпространство в , то она может не быть топологической группой, поскольку в этой топологии отображение не обязано быть непрерывным. Это происходит например в кольцах аделей[англ.].
Ссылки
[править | править код]- Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. — М.: Наука, 1973. — 519 с.