Нормирование (алгебра)
Норми́рование — отображение элементов поля или целостного кольца в некоторое упорядоченное поле , обладающее следующими свойствами:
- 1) и только при
- 2)
- 3)
Если вместо 3) выполняется более сильное условие:
- 3a) , то нормирование называется неархимедовым.
Значение называется нормой элемента . Если упорядоченное поле является полем вещественных чисел , то нормирование часто называют абсолютным значением.
Нормы и называются эквивалентными, если равносильно .
Примеры нормирований
[править | править код]- Нормирование, при котором , для остальных . Такое нормирование называется тривиальным.
- Обычная абсолютная величина в поле вещественных чисел и модуль в поле комплексных чисел являются нормированием.
- Пусть — поле рациональных чисел, а — некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби , где и не кратны . Можно определить следующее нормирование . Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.
Согласно теореме Островского[англ.], любая нетривиальная норма на эквивалентна либо абсолютной величине , либо р-адическому нормированию.
Свойства нормы
[править | править код]- Для вещественнозначного нормирования выполняется свойство (здесь предполагается, что на поле вещественных чисел задана обычная норма - модуль числа)
- Вещественнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число , такое, что для любой суммы единичных элементов поля :
- 3b)
Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов и из поля имеем:
Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при , получаем условие 3a).[источник не указан 4006 дней] Обратное утверждение очевидно.[источник не указан 4006 дней]
Нормированное поле как метрическое пространство
[править | править код]Из свойств 1-3 немедленно следует, что, определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля как норму разности , мы превращаем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Эквивалентные нормы определяют одинаковую топологию в .
Пополнение
[править | править код]Как и для любого метрического пространства, можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле изоморфно вкладывается в полное нормированное поле , то есть существует изоморфизм . Норма в продолжает норму в , то есть для каждого из : , причём плотно в относительно этой нормы. Любое такое поле определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на ; оно называется пополнением поля .
Пример. Пополнением поля рациональных чисел с p-адической метрикой является поле p-адических чисел .
Экспоненциальное нормирование
[править | править код]Пусть — отображение из мультипликативной группы поля в некоторую вполне упорядоченную абелеву группу, такое, что
- 1)
- 2)
Удобно также доопределить эту функцию в нуле: . Групповая операция на определена следующим образом: для любого , упорядочена таким образом, чтобы быть больше всех элементов первоначальной группы. При этом свойства 1) и 2) остаются верными.
В терминологии Бурбаки функция с такими свойствами называется нормированием. Также термин «нормирование» для такой функции используют Атья и Макдональд[1] и Ленг.[2] Однако некоторые авторы оставляют термин «нормирование» для функции, обладающей свойствами, перечисленными в начале этой статьи, а нормирование в терминах Бурбаки называют экспоненциальным нормированием. Область значений отображения называют группой нормирования, а множество тех элементов поля , для которых — кольцом нормирования (обозначение — ), нетрудно проверить, что оно действительно является кольцом.
Дискретное нормирование — это экспоненциальное нормирование, являющееся отображением в аддитивную группу целых чисел. В этом случае кольцо нормирования называется кольцом дискретного нормирования.
Примечания
[править | править код]Литература
[править | править код]- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 2.
- Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.