Lineárny priestor: Rozdiel medzi revíziami
d r2.7.2) (robot Pridal: lo:ເວັກເຕີ |
d Robot: Zmena af:Wektorruimte na af:Vektorruimte |
||
Riadok 53: | Riadok 53: | ||
{{Link GA|en}} |
{{Link GA|en}} |
||
[[af: |
[[af:Vektorruimte]] |
||
[[ar:فضاء متجهي]] |
[[ar:فضاء متجهي]] |
||
[[bg:Линейно пространство]] |
[[bg:Линейно пространство]] |
Verzia z 05:17, 17. január 2013
Lineárny priestor alebo vektorový priestor je abstraktný pojem, ktorý má mnohé použitia v matematike. Je predmetom skúmania algebraickej disciplíny lineárna algebra.
"Vektory" nemusia byť vektormi tak, ako ich chápeme v geometrii, môže to byť ľubovboľný matematický objekt spĺňajúci nasledujúce axiómy vektorového priestoru; napríklad polynómy stupňa ≤n s reálnymi koeficientami z vektorového priestoru.
Definícia
Nech F je pole. Nech V je množina, na ktorej je daná binárna operácia "+", a nech je každému , priradený prvok , pričom:
- 1) je komutatívna grupa
pre ľubovoľné , V a c,d F platí:
- 2) (distributívny zákon)
- 3)
- 4) (asociativita)
- 5)
potom je vektorový priestor nad poľom .
Lineárne Priestory vo Fyzike
Bra-Ket Formalizmus
Vektory tvoria lineárny priestor (alebo vektorový priestor), ak ich ľubovoľná lineárna kombinácia
patrí taktiež do tohoto priestoru.
Pri aplikáciách v kvantovej mechanike môžu byť koeficienty komplexné čísla. Priestoru ket-vektorov je antilineárne priradený duálny priestor bra-vektorov:
,
kde hviezdička označuje komplexné združenie. V konkrétnom prípade vlnovej mechaniky sú ket-vektory vlnové funkcie a bra-vektory sú komplexne združené vlnové funkcie . Skalárny súčin
je definovaný pre ľubovoľnú dvojicu ket-vektor a bra-vektor . Skalárny súčin je komplexné číslo a má tú vlastnosť, že
.
Dôsledkom toho je, že je reálne číslo. Taktiež požadujeme, aby bolo kladné:
.
Za týmto požiadavkom sa skrýva predstava, že zodpovedá druhej mocnine dĺžky vektoru . V konkrétnom vyjadrení vlnovej mechaniky zodpovedá skalárny súčin integrálu
, ktorý má zjavne vlastnosť , rovnako ako
má vlastnosť , pretože je kladné.
Vzťah medzi ket-vektormi a fyzikálnymi stavmi zodpovedá tzv. paprskovej reprezentácii. To znamená, že a vyjadrujú rovnaký fyzikálny stav pre ľubovoľné nenulové komplexné číslo .