Blockmatris

Inom matematiken är en blockmatris en uppdelning av en matris i mindre matriser. Den ursprungliga matrisen kan då skrivas som en samling mindre matriser. Uppdelningen av en matris i block måste vara konsistent, man kan se det som att man inför vertikala och horisontella linjer som går genom hela matrisen.

Exempel

Matrisen:

$A={\begin{pmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\4&4&5&5\\4&4&5&5\end{pmatrix}}$

Kan delas upp i fyra 2x2-matriser:

$P_{11}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}},P_{12}={\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}},P_{21}={\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}},P_{22}={\begin{pmatrix}5&5\\5&5\end{pmatrix}}$

Så att $A$ då kan skrivas:

$A={\begin{pmatrix}P_{11}&P_{12}\\P_{21}&P_{22}\end{pmatrix}}$

Blockdiagonala matriser

En blockdiagonal matris är en kvadratisk matris som har kvadratiska matriser i diagonalen, men alla andra element är noll. Om $A$ är blockdiagonal kan den skrivas på formen:

$A={\begin{pmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&A_{n}\end{pmatrix}}$

Där $A_{k}$ är en kvadratisk matris. Matrisen $A$ kan då skrivas som en direkt summa, $A=A_{1}\oplus A_{2}\oplus ...\oplus A_{n}$. Det finns även samband för determinanten och spåret:

$\det {A}=\det {A_{1}}\det {A_{2}}...\det {A_{n}}\,$

$\operatorname {tr} {A}=\operatorname {tr} {A_{1}}+\operatorname {tr} {A_{2}}+...+\operatorname {tr} {A_{n}}$

Blockmatrismultiplikation

Given två blockmatriser matriserna $A$ och $B$ där $A$ har format $m\times p$ och $B$ har format $p\times n$, med blockindelning:

$A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1s}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{q1}&A_{q2}&\cdots &A_{qs}\end{pmatrix}}$

$B={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1r}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{s1}&B_{s2}&\cdots &B_{sr}\end{pmatrix}}$

Dvs, $A$ har $s$ kolonnupdelningar och $q$ raduppdelningar. $B$ har $r$ kolonnupdelningar och $s$ raduppdelningar.

Man kan då räkna ut matrisprodukten $C=AB$ med format $m\times n$, med $q$ raduppdelningar och $r$ kolonnupdelningar med:

$C_{xy}=\sum _{k=1}^{s}A_{xk}B_{ky}$