Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Немає
перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще
не перевіряли на відповідність правилам проекту.
Рівняння Гельмгольца - диференціальне рівняння з частинними похідними еліптичного типу, що має вигляд:
,
де
- невідома функція,
- оператор Лапласа, k - параметр.
Рівняння Гельмгольца є наслідком хвильового рівняння:
,
якщо його розв'язок шукати у вигляді:
.
При цьому
.
Для знаходження конкретних розв'язків рівняння Гельмгольца для конкретної задачі математичної фізики потрібно доповнити граничними умовами.
Для безмежного тривимірного простору розв'язки можна записати у вигляді плоских хвиль:
,
де
.
Для двовимірної задачі в полярній системі координат розв'язок зручно шукати у вигляді суперпозиції функцій Бесселя:
.
Для тривимірного простору в сферичній системі координат розв'язки мають вигляд суперпозиції сферичних гармонік, помножених на сферичні функції Бесселя:
.