Số tam giác

Sáu số tam giác đầu tiên

Số tam giác là số tự nhiên có giá trị bằng tổng các số điểm chấm xuất hiện trong một tam giác đều được sắp xếp bởi các điểm tương tự hình bên; số tam giác thứ n có giá trị bằng tổng các số tự nhiên từ 1 tới n

$T_{n}=1+2+3+\dotsb +(n-1)+n={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n}{2}}={n+1 \choose 2}.$

Có thể xem đây như là số hạng của công thức, mỗi số tam giác là hệ số kép: Số tam giác thứ n là 1 số của sự ghép cặp được lựa chọn từ n+1 đối tượng. Trong dạng này giải quyết vấn đề bắt tay của việc đếm số lần bắt tay của mỗi người trong một căn phòng kín chứa n+1 người, đó là tổng số lần bắt tay 1 lần với mỗi người khác.

Chuỗi số tam giác (dãy số A000217 trong bảng OEIS) cho n = 1, 2, 3... là:::1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...

Quan hệ với các số hình học khác

Số tam giác có quan hệ rất rông với các loại Số hình học khác. Đơn giản nhất là tổng của 2 số tam giác liên tiếp là một số chính phương. Về mặt đại số,

$T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}.$

Một sự lựa chọn, những số giống như vậy có thể biểu diễn bằng đồ hoạ:

16

25

Có vô số số tam giác đồng thời là số chính phương; Ví dụ: 1, 36 một vài trong số chúng có thể phát sinh từ công thức đệ quy đơn giản:

$S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right)$ với $S_{1}=1$

Tất cả các số chính phương tam giác được tìm ra từ công thức đệ quy:

$S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2$ với $S_{0}=0$ và $S_{1}=1$

Cũng vậy Số chính phương tam giác được xem như là tổng lập phương các số tự nhiên từ 1 tới n.

Tổng của n số tam giác đầu tiên là số tứ diện thứ n,:${\frac {(n)(n+1)(n+2)}{6}}.$

Tổng quát hơn, hiệu số giữa số đa giác m cạnh thứ n và số đa giác m+1 cạnh thứ n là số tam giác thứ (n-1). Ví dụ: Số thất giác thứ 6 (81) trừ Số lục giác thứ 6 (66) là số tam giác thứ 5, 15.

Những đặc tính khác

Số tam giác là bậc cơ sở cơ bản nhất của Công thức Faulhaber

Mọi số hoàn thiện chẵn đều là số tam giác (Được nhận bởi công thức $M_{n}2^{n-1}=M_{n}(M_{n}+1)/2=T_{M_{n}}$ khi $M_{n}$ là Số nguyên tố Mersenne). Cho đến nay chưa có số hoàn thiện lẻ nào được tìm ra, vì thế mọi số hoàn thiện đều là số tam giác.

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Triangular Number" từ MathWorld.