分數:修订间差异
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[[File:Cake quarters.svg|thumb|取出四份之一蛋糕。圖中顯示剩餘的蛋糕是四份之三。蛋糕上的虛線表示可以把蛋糕進行切割分成相等的部份。每一個蛋糕被表示為分數¼。]] |
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⚫ | '''分數''' |
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⚫ | '''分數'''({{lang-en|Fraction}})是用分式(分數式)表達成 <math>\frac{a}{b}</math> 的数(<math>a, b \in Z, b\neq 0</math>)。在上式之中,<math>b</math> 稱為'''分母'''(Denominator)而 <math>a</math> 稱為'''分子'''(Numerator)<ref name=":0">{{Cite web|title=Mixed Fractions|url=https://www.mathsisfun.com/mixed-fractions.html|accessdate=2019-07-10|work=www.mathsisfun.com|archive-date=2020-11-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20201127013703/https://www.mathsisfun.com/mixed-fractions.html|dead-url=no}}</ref>,可視為某件事物平均分成 <math>b</math> 份中佔 <math>a</math> 份,讀作「<math>b</math> 分之 <math>a</math>」。中間的線稱為'''分線'''或'''分数线'''。有時人們會用 <math>a/b</math> 來表示分數。 |
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分數這個概念和[[除法]]、[[比例]]很相似,分數是一種值([[有理數]]),除法較重視計算,比例則重視兩件事物之間的比較。 |
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== 用法 == |
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分數有各種不同的用法與意義: |
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* 兩個整數的[[比例]]:<math>\frac{a}{b} \equiv a:b\ (a, b \in \mathbb{Z}, a, b \neq 0)</math>,這是兩個數量的比較關係。 |
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[[小數]]、[[百分率]]可視為分數的另一種寫法。 |
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* [[有理數]]:可以表達為兩個整數的分數的數稱為有理數。就數系來說,整數分數與有理數是同義詞。 |
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* 整數[[除法]]:<math>\frac{a}{b} \equiv a \div b \ (a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0)</math>,結果會是一個[[整數]]、[[有限小數]]或[[循環小數]]。 |
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* 等分:<math>\frac{1}{3}</math> 表示將全部分成三等份,然後只取其中的一份。這稱為[[單位分數]] (unit fraction),參見[[古埃及分數]]。<math>\frac{1}{3}</math> 也就是 <math>3</math> 這個整數的[[倒數]]。 |
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這些概念在數學裡都是相通的,只是在不同的使用場合中有其實際意義。 |
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== 分類 == |
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; '''十進位分數'''(decimal fraction): 分母為 <math>10</math> 的次方的分數稱為'''十進位分數''',通常使用[[小數]]的形式來表達,例如,<math>\frac{1}{100}</math> 一般记为 <math>0.01</math>,也可以[[百分率]]簡記為 <math>1\%</math>,或是以 <math>10</math> 的[[冪]]記為<math>10^{-2}</math>。 |
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== 分數運算 == |
== 分數運算 == |
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==== 约分 ==== |
==== 约分 ==== |
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「約分」是將一個分數的分子和分母同除以一個比1大的整數(它們的公因數)。 |
「約分」是將一個分數的分子和分母同除以一個比1大的整數(它們的公因數)。 |
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約分後的分數和原來分數的值相等。 |
約分後的分數和原來分數的值相等。<math> \frac{3}{6}=\frac {1}{2}</math> |
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擴分後的分數和原來分數的值相等。 |
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前面的數字的分子和分母皆除以三 |
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前面的數字的分子和分母皆乘以二 |
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「通分」是利用約分或擴分,將兩個分母不同的分數,分别化為同分母的分數。 |
「通分」是利用約分或擴分,將兩個分母不同的分數,分别化為同分母的分數。 |
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=== 加法及減法 === |
=== 加法及減法 === |
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筆算分數的加減法時,必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差,這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等,為了方便地求得所須分母,計算時一般以加數和被加數的[[最小公倍數]]作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上,合成和後再作約簡。例如: |
筆算分數的加減法時,必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差,這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等,為了方便地求得所須分母,計算時一般以加數和被加數的[[最小公倍數]]作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上,合成和後再作約簡。例如: |
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*<math>\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1+1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}</math> |
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*<math>\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}</math> |
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=== 乘法及除法 === |
=== 乘法及除法 === |
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分數的乘除無視分子母的特性,將分子和分母各自處理便可,但是由於整數除法亦容易引起小數,加上不適合出現於分數形式,而且除法也是乘法的[[逆函數]],故此計算時一般將被除數化成其[[倒數]],把除法改為乘法較為方便。例如: |
分數乘法最晚在中國秦代即有,里耶秦簡博物館館長彭成剛表示:里耶秦簡秦朝「九九表」每枚木牘上豎寫的數字連起來就是一個乘法運算,更為驚奇的是,中國當時還出現了分數乘法,例如二乘以二分之一等於一。分數的乘除無視分子母的特性,將分子和分母各自處理便可,但是由於整數除法亦容易引起小數,加上不適合出現於分數形式,而且除法也是乘法的[[逆函數]],故此計算時一般將被除數化成其[[倒數]],把除法改為乘法較為方便。例如: |
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:<math>\frac{1}{5} \div \frac{7}{11} = \frac{1}{5} \times \frac{ |
:<math>\quad \frac{1}{5} \div \frac{7}{11} = ( \frac{1}{5} \times 11 ) \div ( \frac{7}{11} \times 11 ) = ( \frac{1}{5} \times 11) \div 7 = ( \frac{1}{5} \times 11 \times \frac{1}{7}) \div ( 7 \times \frac{1}{7} )</math> |
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:<math>= \frac{1}{5} \times \frac{11}{7} = \frac{1 \times 11}{5 \times 7} = \frac{11}{35}</math> |
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== 相關話題 == |
== 相關話題 == |
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* [[連分數]] |
* [[連分數]] |
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* [[分母有理化]] |
* [[分母有理化]] |
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* [[偶然對消]]:一種錯誤的約分方式,某些情形下會恰好有正確的結果 |
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==外部連結== |
== 外部連結 == |
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* {{cite encyclopedia |encyclopedia=PlanetMath |title=Fraction |url=http://planetmath.org/encyclopedia/Fraction.html |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20111011215017/http://planetmath.org/encyclopedia/Fraction.html |archivedate=2011-10-11 |access-date=2015-06-03 }} |
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*[http://dl5jaf.darc.de/math/rationotation/ Online program] for exact conversion between fractions and decimals |
* [https://web.archive.org/web/20150317233017/http://dl5jaf.darc.de/math/rationotation/ Online program] for exact conversion between fractions and decimals |
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*[http://fractions-calculator.net/ Online Fractions Calculator] with detailed solution |
* [https://web.archive.org/web/20150801171058/http://fractions-calculator.net/ Online Fractions Calculator] with detailed solution |
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*[http://www.ipracticemath.com/math-practice/Fraction Fraction Practice] endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties. |
* [http://www.ipracticemath.com/math-practice/Fraction Fraction Practice] {{Wayback|url=http://www.ipracticemath.com/math-practice/Fraction |date=20200927100803 }} endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties. |
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{{Fractions and ratios}} |
{{Fractions and ratios}} |
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2022年11月14日 (一) 23:05的最新版本
各种各样的数 |
基本 |
延伸 |
其他 |
分數(英語:Fraction)是用分式(分數式)表達成 的数()。在上式之中, 稱為分母(Denominator)而 稱為分子(Numerator)[1],可視為某件事物平均分成 份中佔 份,讀作「 分之 」。中間的線稱為分線或分数线。有時人們會用 來表示分數。
用法[编辑]
分數有各種不同的用法與意義:
- 兩個整數的比例:,這是兩個數量的比較關係。
- 有理數:可以表達為兩個整數的分數的數稱為有理數。就數系來說,整數分數與有理數是同義詞。
- 整數除法:,結果會是一個整數、有限小數或循環小數。
- 等分: 表示將全部分成三等份,然後只取其中的一份。這稱為單位分數 (unit fraction),參見古埃及分數。 也就是 這個整數的倒數。
這些概念在數學裡都是相通的,只是在不同的使用場合中有其實際意義。
分類[编辑]
- 最簡分數(既约分数)(Irreducible Fraction)
- 分子是整數,分母是正整數,且分子和分母互質的分數。例如:
- 真分數(Proper Fraction)
- 除商小於1、大於0的分數,即分子小於分母的分数。當分子一樣大的時候,分母越大則值就越小,當分母一樣的時候,分子越大,數值就越大。例如:
- 假分數(Top-heavy/Improper Fraction)
- 假分数是指除商不小於1的分數,即分子等於或大於分母的分数,可寫成帶分數。例如:和
- 帶分數(mixed numeral、Mixed Fractions、Mixed Numbers[1])
- 一個整數(whole number)加一個真分數,例如,讀作「a又c分之b」;又例如,就是一又二分之一。可寫成假分數,與等價。
- 十進位分數(decimal fraction)
- 分母為 的次方的分數稱為十進位分數,通常使用小數的形式來表達,例如, 一般记为 ,也可以百分率簡記為 ,或是以 的冪記為。
- 單位分數
- 分子為1,分母是整數的分數。也可視為該整數的倒數。例如:
- 古埃及分數(Egyptian fraction)
- 將分數表達成單位分數之和。例如:
- 繁分數
- 分子和/或分母包含了分數的分數,例如。可以用“外乘外、內乘內”的方法簡化,即前面的式子等于。
- 連分數
- 外觀如的分數,其中是整數。若只有有限個非零,則連分數是一個分數。
分數運算[编辑]
分數如自然數般,跟從互聯律、結合律、分配律和反除以零的規則。
約分、擴分及通分[编辑]
一個分數約分後或擴分後,其分數與原來之分數的值相等,稱為等值分數。
约分[编辑]
「約分」是將一個分數的分子和分母同除以一個比1大的整數(它們的公因數)。 約分後的分數和原來分數的值相等。
前面的數字的分子和分母皆除以三
- 擴分
「擴分」是將一個分數的分子和分母同乘以比1大的數。擴分後的分數和原來分數的值相等。
前面的數字的分子和分母皆乘以二
- 通分
「通分」是利用約分或擴分,將兩個分母不同的分數,分别化為同分母的分數。
加法及減法[编辑]
筆算分數的加減法時,必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差,這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等,為了方便地求得所須分母,計算時一般以加數和被加數的最小公倍數作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上,合成和後再作約簡。例如:
乘法及除法[编辑]
分數乘法最晚在中國秦代即有,里耶秦簡博物館館長彭成剛表示:里耶秦簡秦朝「九九表」每枚木牘上豎寫的數字連起來就是一個乘法運算,更為驚奇的是,中國當時還出現了分數乘法,例如二乘以二分之一等於一。分數的乘除無視分子母的特性,將分子和分母各自處理便可,但是由於整數除法亦容易引起小數,加上不適合出現於分數形式,而且除法也是乘法的逆函數,故此計算時一般將被除數化成其倒數,把除法改為乘法較為方便。例如:
相關話題[编辑]
外部連結[编辑]
查看维基词典中的词条「denominator」。
- Fraction, arithmetical. The Online Encyclopaedia of Mathematics. [2015-06-03]. (原始内容存档于2014-10-21).
- 埃里克·韦斯坦因. Fraction. MathWorld.
- Fraction. Encyclopedia Britannica. [2015-06-03]. (原始内容存档于2015-04-26).
- Fraction (mathematics). Citizendium. [2015-06-03]. (原始内容存档于2020-11-07).
- Fraction. PlanetMath. [2015-06-03]. (原始内容存档于2011-10-11).
- Online program for exact conversion between fractions and decimals
- Online Fractions Calculator with detailed solution
- Fraction Practice (页面存档备份,存于互联网档案馆) endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties.
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- ^ 1.0 1.1 Mixed Fractions. www.mathsisfun.com. [2019-07-10]. (原始内容存档于2020-11-27).