分數：修订间差异

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2022年11月14日 (一) 23:05的最新版本

各种各样的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正数 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整数 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代数数 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
复数 $\mathbb {C}$
高斯整数 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整数 $\mathbb {Z} ^{-}$
分数
 单位分数
 二进分数
 规矩数
 无理数
 超越数
 虚数 $\mathbb {I}$
二次无理数
 艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元数 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元数 $\mathbb {S}$
超实数 $^{*}\mathbb {R}$
大实数
 上超实数

双曲复数
 双复数
 复四元数
共四元数（英语：Dual quaternion）
超复数
 超数
 超现实数

其他

素数 $\mathbb {P}$
可计算数
 基数
 阿列夫数
 同余
 整数数列
 公称值

规矩数
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 进数
 数学常数

圆周率 $\pi =3.14159265$ …
自然对数的底 $e=2.718281828$ …
虚数单位 $i={\sqrt {-{1}}}$
无限大 $\infty$

取出四份之一蛋糕。图中显示剩余的蛋糕是四份之三。蛋糕上的虚线表示可以把蛋糕进行切割分成相等的部分。每一个蛋糕被表示为分数¼。

分数（英语：Fraction）是用分式（分数式）表达成 ${\frac {a}{b}}$ 的数（ $a,b\in Z,b\neq 0$ ）。在上式之中， $b$ 称为分母（Denominator）而 $a$ 称为分子（Numerator）^[1]，可视为某件事物平均分成 $b$ 份中占 $a$ 份，读作“ $b$ 分之 $a$ ”。中间的线称为分线或分数线。有时人们会用 $a/b$ 来表示分数。

用法[编辑]

分数有各种不同的用法与意义：

两个整数的比例： ${\frac {a}{b}}\equiv a:b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,a,b\neq 0)$ ，这是两个数量的比较关系。
有理数：可以表达为两个整数的分数的数称为有理数。就数系来说，整数分数与有理数是同义词。
整数除法： ${\frac {a}{b}}\equiv a\div b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0)$ ，结果会是一个整数、有限小数或循环小数。
等分： ${\frac {1}{3}}$ 表示将全部分成三等份，然后只取其中的一份。这称为单位分数 (unit fraction)，参见古埃及分数。 ${\frac {1}{3}}$ 也就是 $3$ 这个整数的倒数。

这些概念在数学里都是相通的，只是在不同的使用场合中有其实际意义。

分类[编辑]

最简分数（既约分数）（Irreducible Fraction）: 分子是整数，分母是正整数，且分子和分母互素的分数。例如： ${\frac {4}{~{}15~{}}}$
真分数（Proper Fraction）: 除商小于1、大于0的分数，即分子小于分母的分数。当分子一样大的时候，分母越大则值就越小，当分母一样的时候，分子越大，数值就越大。例如： ${\frac {3}{~{}7~{}}}$
假分数（Top-heavy/Improper Fraction）: 假分数是指除商不小于1的分数，即分子等于或大于分母的分数，可写成带分数。例如： ${\frac {5}{~{}3~{}}}$ 和 ${\frac {8}{~{}8~{}}}$
带分数（mixed numeral、Mixed Fractions、Mixed Numbers^[1]）: 一个整数（whole number）加一个真分数，例如 $a{\frac {b}{c}}$ ，读作“a又c分之b”；又例如 $1{\frac {1}{~{}2~{}}}$ ，就是一又二分之一。可写成假分数，与 ${\frac {~{}(a\times c)+b~{}}{c}}$ 等价。
十进制分数（decimal fraction）: 分母为 $10$ 的次方的分数称为十进制分数，通常使用小数的形式来表达，例如， ${\frac {1}{100}}$ 一般记为 $0.01$ ，也可以百分率简记为 $1\%$ ，或是以 $10$ 的幂记为 $10^{-2}$ 。
单位分数: 分子为1，分母是整数的分数。也可视为该整数的倒数。例如： ${\frac {1}{~{}99~{}}}$
古埃及分数（Egyptian fraction）: 将分数表达成单位分数之和。例如： ${\frac {19}{~{}20~{}}}={\frac {1}{~{}2~{}}}+{\frac {1}{~{}3~{}}}+{\frac {1}{~{}9~{}}}+{\frac {1}{~{}180~{}}}$
繁分数: 分子和/或分母包含了分数的分数，例如 ${\frac {~{}{\frac {a}{~{}b~{}}}~{}}{\frac {c}{~{}d~{}}}}$ 。可以用“外乘外、内乘内”的方法简化，即前面的式子等于 ${\frac {ad}{~{}bc~{}}}$ 。
连分数: 外观如 $x=a_{0}+{\frac {1}{~{}a_{1}+{\frac {1}{~{}a_{2}+{\frac {1}{~{}a_{3}+\dots }}}}}}$ 的分数，其中 $a_{i}$ 是整数。若只有有限个 $a_{i}$ 非零，则连分数是一个分数。

分数运算[编辑]

分数如自然数般，跟从互联律、结合律、分配律和反除以零的规则。

约分、扩分及通分[编辑]

一个分数约分后或扩分后，其分数与原来之分数的值相等，称为等值分数。

约分[编辑]

“约分”是将一个分数的分子和分母同除以一个比1大的整数（它们的公约数）。约分后的分数和原来分数的值相等。 ${\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$

前面的数字的分子和分母皆除以三

扩分

“扩分”是将一个分数的分子和分母同乘以比1大的数。扩分后的分数和原来分数的值相等。 ${\frac {1}{2}}={\frac {2}{4}}$

前面的数字的分子和分母皆乘以二

通分

“通分”是利用约分或扩分，将两个分母不同的分数，分别化为同分母的分数。

加法及减法[编辑]

笔算分数的加减法时，必须将分母用予倍的方法化成同一数字才能进行同级分数之和或差，这个过程称为“扩分”、“通分”、“通分母扩分子”等等，为了方便地求得所须分母，计算时一般以加数和被加数的最小公倍数作为新的分母。然后将事先倍大了的分子加上，合成和后再作约简。例如：

${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1+1}{4}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$

${\frac {1}{5}}+{\frac {1}{3}}={\frac {3}{15}}+{\frac {5}{15}}={\frac {3+5}{15}}={\frac {8}{15}}$

乘法及除法[编辑]

分数乘法最晚在中国秦代即有，里耶秦简博物馆馆长彭成刚表示:里耶秦简秦朝“九九表”每枚木牍上竖写的数字连起来就是一个乘法运算，更为惊奇的是，中国当时还出现了分数乘法，例如二乘以二分之一等于一。分数的乘除无视分子母的特性，将分子和分母各自处理便可，但是由于整数除法亦容易引起小数，加上不适合出现于分数形式，而且除法也是乘法的逆函数，故此计算时一般将被除数化成其倒数，把除法改为乘法较为方便。例如：

\quad {\frac {1}{5}}\div {\frac {7}{11}}=({\frac {1}{5}}\times 11)\div ({\frac {7}{11}}\times 11)=({\frac {1}{5}}\times 11)\div 7=({\frac {1}{5}}\times 11\times {\frac {1}{7}})\div (7\times {\frac {1}{7}})

={\frac {1}{5}}\times {\frac {11}{7}}={\frac {1\times 11}{5\times 7}}={\frac {11}{35}}

外部链接[编辑]

Fraction, arithmetical. The Online Encyclopaedia of Mathematics. [2015-06-03]. （原始内容存档于2014-10-21）.
埃里克·韦斯坦因. Fraction. MathWorld.
Fraction. Encyclopedia Britannica. [2015-06-03]. （原始内容存档于2015-04-26）.
Fraction (mathematics). Citizendium. [2015-06-03]. （原始内容存档于2020-11-07）.
Fraction. PlanetMath. [2015-06-03]. （原始内容存档于2011-10-11）.
Online program for exact conversion between fractions and decimals
Online Fractions Calculator with detailed solution
Fraction Practice （页面存档备份，存于互联网档案馆） endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties.

^ ^1.0 ^1.1 Mixed Fractions. www.mathsisfun.com. [2019-07-10]. （原始内容存档于2020-11-27）.

[:0-1] 1.0 ^1.1 Mixed Fractions. www.mathsisfun.com. [2019-07-10]. （原始内容存档于2020-11-27）.

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 {{NoteTA|G1=Math}}
-{{About|數學慨念的分數|得分或評分|成績}}
+{{About|數學概念的分數|其他領域的分數|得分}}
 {{Numbers}}
 [[File:Cake quarters.svg|thumb|取出四份之一蛋糕。圖中顯示剩餘的蛋糕是四份之三。蛋糕上的虛線表示可以把蛋糕進行切割分成相等的部份。每一個蛋糕被表示為分數¼。]]
-'''分數'''（fraction）是用分式（分數式）表達成 <math>\frac{a}{b}</math> 的数（<math>a, b \in Z, b\neq 0</math>）。在上式之中，<math>b</math> 稱為'''分母'''（Denominator）而 <math>a</math> 稱為'''分子'''（Numerator），可視為某件事物平均分成 <math>b</math> 份中佔 <math>a</math> 分，讀作「<math>b</math> 分之 <math>a</math>」。中間的線稱為'''分線'''或'''分数线'''。有時人們會用 <math>a/b</math> 來表示分數。分母為 <math>10</math> 的次方的分數稱為'''十進位分數（decimal fraction）'''，通常使用[[小數]]的形式來表達，例如，<math>\frac{1}{100}</math> 一般记为 <math>0.01</math>，也可簡記為 <math>1%</math> 或 <math>10^{-2}</math>。<br />
+'''分數'''（{{lang-en|Fraction}}）是用分式（分數式）表達成 <math>\frac{a}{b}</math> 的数（<math>a, b \in Z, b\neq 0</math>）。在上式之中，<math>b</math> 稱為'''分母'''（Denominator）而 <math>a</math> 稱為'''分子'''（Numerator）<ref name=":0">{{Cite web|title=Mixed Fractions|url=https://www.mathsisfun.com/mixed-fractions.html|accessdate=2019-07-10|work=www.mathsisfun.com|archive-date=2020-11-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20201127013703/https://www.mathsisfun.com/mixed-fractions.html|dead-url=no}}</ref>，可視為某件事物平均分成 <math>b</math> 份中佔 <math>a</math> 份，讀作「<math>b</math> 分之 <math>a</math>」。中間的線稱為'''分線'''或'''分数线'''。有時人們會用 <math>a/b</math> 來表示分數。
-分數這個概念和[[除法]]、[[比例]]很相似，分數是一種值（[[有理數]]），除法較重視計算，比例則重視兩件事物之間的比較。
-== 分類 ==
+== 用法 ==
+分數有各種不同的用法與意義：
-;[[最簡分數]]（既约分数）（Irreducible Fraction）:分子是整數，分母是正整數，且分子和分母[[互質]]的分數。例如：<math>\frac{4}{~{}15~{}}</math>
-;[[真分數]]（Proper Fraction）:除商小於1、大於0的分數，即分子小於分母的分数。當分子一樣大的時候，分母越大則值就越小，當分母一樣的時候，分子越大，數值就越大。例如：<math>\frac{3}{~{}7~{}}</math>
-;[[假分數]]（Top-heavy/Improper Fraction）:假分数是指除商不小於1的分數，即分子等於或大於分母的分数，可寫成帶分數。例如：<math>\frac{5}{~{}2~{}}</math>
-;[[帶分數]]（Mixed Numeral）:一個整數加一個真分數，例如<math>d \frac{a}{b}</math>，讀作「d又b分之a」；又例如<math>1 \frac{1}{~{}2~{}}</math>，就是一又二分之一。可寫成假分數，與<math>\frac{~{}( d \times b ) + a~{}}{b}</math>等價。
-;[[單位分數]]：分子為1，分母是整數的分數。也可視為該整數的[[倒數]]。例如：<math>\frac{1}{~{}99~{}}</math>
-;[[古埃及分數]]（Egyptian fraction）:將分數表達成單位分數之和。例如：<math>\frac{19}{~{}20~{}} = \frac{1}{~{}2~{}} + \frac{1}{~{}3~{}} + \frac{1}{~{}9~{}}+ \frac{1}{~{}180~{}}</math>
-;[[繁分數]]：分子和/或分母包含了分數，例如<math>\frac{~{} \frac{a}{~{} b~{} }~{} }{\frac{c}{~{} d~{} }}</math>。可以用“外乘外、內乘內”的方法簡化，即前面的式子等如<math>\frac{ad}{~{}bc~{}}</math>。
-;[[連分數]]：外觀如<math>x = a_0 + \frac{1}{~{}a_1 + \frac{1}{~{}a_2 + \frac{1}{~{}a_3+\dots}}} </math>的分數，其中a<sub>i</sub>是整數。若只有有限個a<sub>i</sub>非零，則連分數是一個分數。
+* 兩個整數的[[比例]]：<math>\frac{a}{b} \equiv a:b\ (a, b \in \mathbb{Z}, a, b \neq 0)</math>，這是兩個數量的比較關係。
-[[小數]]、[[百分率]]可視為分數的另一種寫法。
+* [[有理數]]：可以表達為兩個整數的分數的數稱為有理數。就數系來說，整數分數與有理數是同義詞。
+* 整數[[除法]]：<math>\frac{a}{b} \equiv a \div b \ (a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0)</math>，結果會是一個[[整數]]、[[有限小數]]或[[循環小數]]。
+* 等分：<math>\frac{1}{3}</math> 表示將全部分成三等份，然後只取其中的一份。這稱為[[單位分數]] (unit fraction)，參見[[古埃及分數]]。<math>\frac{1}{3}</math> 也就是 <math>3</math> 這個整數的[[倒數]]。
+這些概念在數學裡都是相通的，只是在不同的使用場合中有其實際意義。
+== 分類 ==
+; [[最簡分數]]（既约分数）（Irreducible Fraction）:分子是整數，分母是正整數，且分子和分母[[互質]]的分數。例如：<math>\frac{4}{~{}15~{}}</math>
+; [[真分數]]（Proper Fraction）:除商小於1、大於0的分數，即分子小於分母的分数。當分子一樣大的時候，分母越大則值就越小，當分母一樣的時候，分子越大，數值就越大。例如：<math>\frac{3}{~{}7~{}}</math>
+; [[假分數]]（Top-heavy/Improper Fraction）:假分数是指除商不小於1的分數，即分子等於或大於分母的分数，可寫成帶分數。例如：<math>\frac{5}{~{}3~{}}</math>和<math>\frac{8}{~{}8~{}}</math>
+; [[帶分數]]（'''mixed numeral、'''Mixed Fractions、Mixed Numbers<ref name=":0" />）:一個整數（whole number）加一個真分數，例如<math>a \frac{b}{c}</math>，讀作「a又c分之b」；又例如<math>1 \frac{1}{~{}2~{}}</math>，就是一又二分之一。可寫成假分數，與<math>\frac{~{}( a \times c ) + b~{}}{c}</math>等價。
+; '''十進位分數'''（decimal fraction）: 分母為 <math>10</math> 的次方的分數稱為'''十進位分數'''，通常使用[[小數]]的形式來表達，例如，<math>\frac{1}{100}</math> 一般记为 <math>0.01</math>，也可以[[百分率]]簡記為 <math>1\%</math>，或是以 <math>10</math> 的[[冪]]記為<math>10^{-2}</math>。
+; [[單位分數]]:分子為1，分母是整數的分數。也可視為該整數的[[倒數]]。例如：<math>\frac{1}{~{}99~{}}</math>
+; [[古埃及分數]]（Egyptian fraction）:將分數表達成單位分數之和。例如：<math>\frac{19}{~{}20~{}} = \frac{1}{~{}2~{}} + \frac{1}{~{}3~{}} + \frac{1}{~{}9~{}}+ \frac{1}{~{}180~{}}</math>
+; [[繁分數]]:分子和/或分母包含了分數的分數，例如<math>\frac{~{} \frac{a}{~{} b~{} }~{} }{\frac{c}{~{} d~{} }}</math>。可以用“外乘外、內乘內”的方法簡化，即前面的式子等于<math>\frac{ad}{~{}bc~{}}</math>。
+; [[連分數]]:外觀如<math>x = a_0 + \frac{1}{~{}a_1 + \frac{1}{~{}a_2 + \frac{1}{~{}a_3+\dots}}} </math>的分數，其中<math>a_i</math>是整數。若只有有限個<math>a_i</math>非零，則連分數是一個分數。
 == 分數運算 ==
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 ==== 约分 ====
 「約分」是將一個分數的分子和分母同除以一個比1大的整數（它們的公因數）。
-約分後的分數和原來分數的值相等。
+約分後的分數和原來分數的值相等。<math> \frac{3}{6}=\frac {1}{2}</math>
-;擴分
-「擴分」是將一個分數的分子和分母同乘以比1大的數。
-擴分後的分數和原來分數的值相等。
+前面的數字的分子和分母皆除以三
-;通分
+; 擴分
+「擴分」是將一個分數的分子和分母同乘以比1大的數。擴分後的分數和原來分數的值相等。<math> \frac {1}{2}=\frac{2}{4}</math>
+前面的數字的分子和分母皆乘以二
+; 通分
 「通分」是利用約分或擴分，將兩個分母不同的分數，分别化為同分母的分數。
 === 加法及減法 ===
 筆算分數的加減法時，必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差，這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等，為了方便地求得所須分母，計算時一般以加數和被加數的[[最小公倍數]]作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上，合成和後再作約簡。例如：
-:<math>\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = 3\times\frac{1}{12}+4\times\frac{1}{12} = (3+4)\times\frac{1}{12} = 7\times\frac{1}{12} = \frac{7}{12}</math>
+*<math>\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1+1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}</math>
+*<math>\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}</math>
 === 乘法及除法 ===
-分數的乘除無視分子母的特性，將分子和分母各自處理便可，但是由於整數除法亦容易引起小數，加上不適合出現於分數形式，而且除法也是乘法的[[逆函數]]，故此計算時一般將被除數化成其[[倒數]]，把除法改為乘法較為方便。例如：
+分數乘法最晚在中國秦代即有，里耶秦簡博物館館長彭成剛表示:里耶秦簡秦朝「九九表」每枚木牘上豎寫的數字連起來就是一個乘法運算，更為驚奇的是，中國當時還出現了分數乘法，例如二乘以二分之一等於一。分數的乘除無視分子母的特性，將分子和分母各自處理便可，但是由於整數除法亦容易引起小數，加上不適合出現於分數形式，而且除法也是乘法的[[逆函數]]，故此計算時一般將被除數化成其[[倒數]]，把除法改為乘法較為方便。例如：
-:<math>\frac{1}{5} \div  \frac{7}{11} = \frac{1}{5} \times \frac{11}{7} =  \frac{1 \times 11}{5 \times 7} = \frac{11}{35}</math>
+:<math>\quad \frac{1}{5} \div  \frac{7}{11} = ( \frac{1}{5} \times 11 ) \div ( \frac{7}{11} \times 11 ) = ( \frac{1}{5} \times 11) \div 7 = ( \frac{1}{5} \times 11 \times \frac{1}{7}) \div ( 7  \times \frac{1}{7} )</math>
+:<math>= \frac{1}{5} \times \frac{11}{7} =  \frac{1 \times 11}{5 \times 7} = \frac{11}{35}</math>
 == 相關話題 ==
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 * [[連分數]]
 * [[分母有理化]]
+* [[偶然對消]]：一種錯誤的約分方式，某些情形下會恰好有正確的結果
-==外部連結==
+== 外部連結 ==
 {{commons category|Fractions}}
 {{Wiktionary|denominator}}
 {{Wiktionary|numerator}}
-*{{cite encyclopedia |encyclopedia=The Online Encyclopaedia of Mathematics |title=Fraction, arithmetical |url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Fraction}}
+* {{cite encyclopedia |encyclopedia=The Online Encyclopaedia of Mathematics |title=Fraction, arithmetical |url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Fraction |access-date=2015-06-03 |archive-date=2014-10-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141021043927/http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Fraction |dead-url=no }}
-*{{MathWorld|Fraction|Fraction}}
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-*[http://dl5jaf.darc.de/math/rationotation/ Online program] for exact conversion between fractions and decimals
+* [https://web.archive.org/web/20150317233017/http://dl5jaf.darc.de/math/rationotation/ Online program] for exact conversion between fractions and decimals
-*[http://fractions-calculator.net/ Online Fractions Calculator] with detailed solution
+* [https://web.archive.org/web/20150801171058/http://fractions-calculator.net/ Online Fractions Calculator] with detailed solution
-*[http://www.ipracticemath.com/math-practice/Fraction Fraction Practice] endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties.
+* [http://www.ipracticemath.com/math-practice/Fraction Fraction Practice] {{Wayback|url=http://www.ipracticemath.com/math-practice/Fraction |date=20200927100803 }} endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties.
 {{Fractions and ratios}}