各種底數的對數函數圖像:紅色 函數底數是「e 」, 綠色 函數底數是2 ,藍色 函數底數是0.5 ,刻度是半個單位。[ 註 1]
在數學中,對數 (英語:Logarithm )是冪運算 的逆運算。
當
x
=
β
y
{\displaystyle x=\beta ^{y}}
時,則有
y
=
log
β
x
{\displaystyle y=\log _{\beta }x\!}
其中
β
{\displaystyle \beta }
是對數的底 (也稱為基數),而
y
{\displaystyle y}
就是
x
{\displaystyle x}
(對於底數
β
{\displaystyle \beta }
)的對數,
x
{\displaystyle x}
也稱為真數 。
底數
β
{\displaystyle \beta }
的值在實數範圍內常取
e
{\displaystyle e}
、 10、2等,但一定不能是1或0[ 註 2]
當
x
{\displaystyle x}
和
β
{\displaystyle \beta }
進一步限制為正實數 的時候,對數是唯一的實數。
例如,因為
3
4
=
3
×
3
×
3
×
3
=
81
{\displaystyle 3^{4}=3\times 3\times 3\times 3=81}
,
我們可以得出
4
=
log
3
81
{\displaystyle 4=\log _{3}81\!}
,
用日常語言說,即「81以3為底的對數是4」。 這個意思就是說,3的4次方是81。
15世紀時,法國數學家尼古拉·丘凱 和德國數學家米夏埃爾·施蒂費爾 在開展研究工作時產生了發展對數的思想,他們,尤其是後者,對等差數列和等比數列 的關係作了一些研究。但他們並沒有使其得到更進一步的發展。[ 1]
一般認為對數於16世紀末至17世紀初期間由蘇格蘭數學家約翰·納皮爾 男爵和瑞士工程師約斯特·比爾吉 發明。比爾吉曾擔任過著名天文學家開普勒 的助手,因此會經常接觸到複雜的天文計算,他也因此產生了化簡數值計算的想法。[ 註 3] 納皮爾是一位蘇格蘭貴族,對數值的計算有很深的研究。為了找到簡化球面三角 計算的方法,他也產生了發展對數的想法。1614年,他在自己的書籍《奇妙的對數表的描述》[ 2] 上發佈了自己的對數表,相較比爾吉早了6年。納皮爾發明的納皮爾算籌 用加減法代替了乘除法,成功簡化了乘除法的運算,他的對數被後人稱為納皮爾對數,記法為Nap·logx。[ 1]
1624年,英國數學家亨利·布里格斯 書籍《對數算術》成功出版,書中寫有14位常用對數表。布里格斯率先採用了以10為底的常用對數 ,而現在它已通用。他還製作了正弦和正切的對數表。荷蘭數學家兼出版商在布里格斯的基礎上加以改進,他出版的數個對數表在歐洲迅速普及起來。[ 1]
17世紀中葉(清朝初年),中國數學家薛鳳祚 和波蘭傳教士穆尼閣 合作完成了中國最早的對數著作《比例對數表》(又名《歷學會通》),對數自此傳入中國。[ 1] [ 3] 此書稱真數為「原數」,對數為「比例數」。而《數理精蘊》中則稱作對數比例:「對數比例乃西士若往·納白爾所作,以借數與真數對列成表,故名對數表。」中國因此普遍稱之為「對數」。
對數對科學的進步有所貢獻,特別是對天文學 ,使某些繁難的乘法計算轉換為加法計算。在計算器和計算機發明之前,對數長期用於測量、航海、和其他應用數學 分支中。
對數符號
log
{\displaystyle \log }
出自拉丁文logarithmus,最早由1632年意大利 數學家卡瓦列里 所使用。納皮爾在表示對數時套用logarithm整個詞,並未作簡化。1624年,開普勒 才把對數符號簡化為
log
{\displaystyle \log }
,奧特雷德 在1647年也用簡化了的Log。
1893年,皮亞諾 用
ln
x
{\displaystyle \ln x}
及
lg
x
{\displaystyle \lg x}
分別表示以
e
{\displaystyle e}
為底的對數和以10為底的對數。1902年,施托爾茨 等人以
a
log
.
b
{\displaystyle a\log .b}
表示以
a
{\displaystyle a}
為底的
b
{\displaystyle b}
的對數。
20世紀初,形成了對數的現代標準表示
log
α
N
{\displaystyle \log _{\alpha }\mathrm {N} }
,為了使用方便,自然對數
ln
N
{\displaystyle \ln N}
的記法得到了普遍認可。
函數
log
α
x
{\displaystyle \log _{\alpha }x}
依賴於
α
{\displaystyle \alpha }
和
x
{\displaystyle x}
二者,但是術語對數函數 在標準用法中用來稱呼形如
log
α
x
{\displaystyle \log _{\alpha }x}
的函數,在其中底數
α
{\displaystyle \alpha }
是固定的而只有一個參數
α
{\displaystyle \alpha }
。[ 註 4]
對數函數圖像和指數函數圖像關於直線
y
=
x
{\displaystyle y=x}
對稱,互為逆函數 。
對數函數的性質有:
都過
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
點;
x
=
0
{\displaystyle x=0}
即y軸為其垂直漸近線。
定義域 為
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
,值域 為
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
;
α
>
1
{\displaystyle \alpha >1}
,在
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
上是增函數;
1
>
α
>
0
{\displaystyle 1>\alpha >0}
時,在
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
上是減函數。
當
0
<
α
<
e
−
e
{\displaystyle 0<\alpha <e^{-e}}
時和
y
=
α
x
{\displaystyle y=\alpha ^{x}}
交於三點;
e
−
e
<
α
<
1
{\displaystyle e^{-e}<\alpha <1}
時交於一點;
1
<
α
<
e
1
e
{\displaystyle 1<\alpha <e^{\frac {1}{e}}}
時交於兩點;
α
=
e
1
e
{\displaystyle \alpha =e^{\frac {1}{e}}}
時交於一點;
α
>
e
1
e
{\displaystyle \alpha >e^{\frac {1}{e}}}
時則無交點。
如果
n
{\displaystyle n}
是自然數 ,
β
n
{\displaystyle {\beta }^{n}}
表示等於
β
{\displaystyle \beta }
的
n
{\displaystyle n}
個因子的乘積 :
β
n
=
β
×
β
×
⋯
×
β
⏟
n
{\displaystyle {\beta }^{n}=\underbrace {\beta \times \beta \times \cdots \times \beta } _{n}}
。
但是,如果
β
{\displaystyle \beta }
是不等於1的正實數,這個定義可以擴展到在一個域 中的任何實數
n
{\displaystyle n}
(參見冪 )。類似的,對數函數可以定義於任何正實數。對於不等於1的每個正底數
β
{\displaystyle \beta }
,有一個對數函數 和一個指數函數 ,它們互為反函數 。
對數可以簡化乘法運算為加法,除法為減法,冪運算為乘法,根運算為除法。所以,在發明電子計算機 之前,對數對進行冗長的數值運算是很有用的,它們廣泛的用於天文 、工程 、航海 和測繪 等領域中。它們有重要的數學性質而在今天仍在廣泛使用中。
最常用做底數的是e 、10和2。
在數學分析 中,以
e
{\displaystyle e}
為底對數很常見。另一方面,以10為底對數在十進制 表示法中,手工計算很容易:[ 4]
log
10
10
x
=
log
10
10
+
log
10
x
=
1
+
log
10
x
.
{\displaystyle \log _{10}10x=\log _{10}10+\log _{10}x=1+\log _{10}x.\ }
所以
log
10
x
{\displaystyle \log _{10}x}
表示正整數
x
{\displaystyle x}
的位數:數字的十進制位數是嚴格大於
log
10
x
{\displaystyle \log _{10}x}
的最小的整數。例如
log
10
1430
≈
3.15
{\displaystyle \log _{10}1430\approx 3.15}
,下一個整數是4,即1430的位數。
以2為底的對數常用於計算機科學,因為計算機中二進制很普及。當然上面的算法也可推廣到二進制:嚴格大於
log
2
x
{\displaystyle \log _{2}x}
的最小整數是
x
{\displaystyle x}
在二進制下的位數。事實上經由簡單推導即可得知,floor(logp x)+1 得到
x
{\displaystyle x}
在
p
{\displaystyle p}
進制下的位數:若
x
{\displaystyle x}
在
p
{\displaystyle p}
進制下有
n
{\displaystyle n}
位,則
p
n
−
1
≤
x
<
p
n
{\displaystyle p^{n-1}\leq x<p^{n}}
;而
p
{\displaystyle p}
是不小於 2 的正整數導致以其為底的
log
p
x
{\displaystyle \log _{p}x}
是增函數,故三邊取對數得
n
−
1
≤
log
p
x
<
n
{\displaystyle n-1\leq \log _{p}x<n}
,取下整正好得到
n
−
1
{\displaystyle n-1}
。
下表列出了這些底數的常用的對數符號以及他們所使用的領域。許多學科都寫
log
(
x
)
{\displaystyle \log(x)}
來代替
log
b
(
x
)
{\displaystyle \log _{b}(x)}
,而
b
{\displaystyle b}
的值根據前後文可以確定。記號
b
log
(
x
)
{\displaystyle ^{b}\log(x)}
也出現過。[ 5] 「ISO表示法」(ISO 31-11 )一列指定了ISO 推薦的表示方法。[ 6]
底數
b
{\displaystyle b}
log
b
x
{\displaystyle \log _{b}x}
的名稱
ISO表示法
其它的表示方法
適用領域
2
二進制對數
lb
x
{\displaystyle \operatorname {lb} x}
[ 7]
log
x
{\displaystyle \log x}
、
lg
x
{\displaystyle \operatorname {lg} x}
計算機科學、信息論 、數學
e
{\displaystyle e}
自然對數
ln
x
{\displaystyle \ln x}
[ a]
log
x
{\displaystyle \log x}
(用於數學和許多程式語言 [ b] )
數學分析、物理學、化學統計學 、經濟學 和其它工程領域
10
常用對數
lg
x
{\displaystyle \operatorname {lg} x}
log
x
{\displaystyle \log x}
(用於工程學、生物學、天文學)
多種工程學 領域 (見分貝 )、 對數表 、手持式計算器 、 光譜學
儘管有很多有用的恆等式,對計算器最重要的是找到不是建造於計算器內的底數(通常是
log
e
{\displaystyle \log _{e}}
和
log
10
{\displaystyle \log _{10}}
)的其他底數的對數。要使用其他底數
β
{\displaystyle \beta }
找到底數
α
{\displaystyle \alpha }
的對數:
log
α
x
=
log
β
x
log
β
α
{\displaystyle \log _{\alpha }x={\frac {\log _{\beta }x}{\log _{\beta }\alpha }}}
。
此外,這個結果蘊涵了所有對數函數(任意底數)都是相互類似的。所以用計算器計算對134217728底數2的對數:
log
2
134217728
=
ln
134217728
ln
2
=
27
ln
2
ln
2
=
27
{\displaystyle \log _{2}134217728={\frac {\ln 134217728}{\ln 2}}={\frac {27\ln 2}{\ln 2}}=27}
。
對數對解冪是未知的方程是有用的。它們有簡單的導數 ,所以它們經常用在解積分 中。對數是三個相關的函數中的一個。在等式
b
n
=
x
{\displaystyle b^{n}=x}
中,
b
{\displaystyle b}
可以從
x
{\displaystyle x}
的
n
{\displaystyle n}
次方根 ,
n
{\displaystyle n}
從
x
{\displaystyle x}
的
b
{\displaystyle b}
底數的對數,
x
{\displaystyle x}
從
b
{\displaystyle b}
的
n
{\displaystyle n}
次的冪 來確定。參見對數恆等式 得到掌控對數函數的一些規則。
對數把注意力從平常的數轉移到了冪。只要使用相同的底數,就會使特定運算更容易:
數的運算
冪的運算
對數恆等式
x
y
{\displaystyle \,xy}
m
+
n
{\displaystyle \,m+n}
log
θ
x
y
=
log
θ
x
+
log
θ
y
{\displaystyle \,\log _{\theta }xy=\log _{\theta }x+\log _{\theta }y}
x
y
{\displaystyle {\frac {x}{y}}}
m
−
n
{\displaystyle \,m-n}
log
θ
x
y
=
log
θ
x
−
log
θ
y
{\displaystyle \log _{\theta }{\frac {x}{y}}=\log _{\theta }x-\log _{\theta }y}
x
y
{\displaystyle \,x^{y}}
m
n
{\displaystyle \,mn}
log
θ
x
y
=
y
log
θ
x
{\displaystyle \,\log _{\theta }x^{y}=y\log _{\theta }x}
x
y
{\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}}
m
n
{\displaystyle {\frac {m}{n}}}
log
θ
x
y
=
log
θ
x
y
{\displaystyle \log _{\theta }{\sqrt[{y}]{x}}={\frac {\log _{\theta }x}{y}}}
這些關係使在兩個數上的這種運算更快,在加法計算器 出現之前正確的使用對數是基本技能。 [來源請求]
從純數學的觀點來看,恆等式:
log
α
M
N
=
log
α
M
+
log
α
N
{\displaystyle \log _{\alpha }\mathrm {M} \mathrm {N} =\log _{\alpha }\mathrm {M} +\log _{\alpha }\mathrm {N} \!}
,
在兩種意義上是基本的。首先,其他3個算術性質可以從它得出。進一步的,它表達了在正實數的乘法群 和所有實數的加法群 之間的同構 。
對數函數是從正實數的乘法群到實數的加法群的唯一連續同構。
複對數計算公式:
log
c
+
d
i
(
a
+
b
i
)
=
ln
(
a
2
+
b
2
)
⋅
ln
(
c
2
+
d
2
)
+
4
(
arctan
b
a
+
2
k
π
)
(
arctan
d
c
+
2
n
π
)
+
[
2
(
arctan
b
a
+
2
k
π
)
ln
(
c
2
+
d
2
)
−
2
(
arctan
d
c
+
2
n
π
)
ln
(
a
2
+
b
2
)
]
i
ln
2
(
c
2
+
d
2
)
+
4
(
arctan
d
c
+
2
n
π
)
2
{\displaystyle \log _{c+di}(a+bi)={\frac {\ln \left(a^{2}+b^{2}\right)\cdot \ln \left(c^{2}+d^{2}\right)+4\left(\arctan {\frac {b}{a}}+2k\pi \right)\left(\arctan {\frac {d}{c}}+2n\pi \right)+\left[2\left(\arctan {\frac {b}{a}}+2k\pi \right)\ln \left(c^{2}+d^{2}\right)-2\left(\arctan {\frac {d}{c}}+2n\pi \right)\ln \left(a^{2}+b^{2}\right)\right]i}{\ln ^{2}\left(c^{2}+d^{2}\right)+4\left(\arctan {\frac {d}{c}}+2n\pi \right)^{2}}}}
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
e
c
2
ln
(
a
2
+
b
2
)
−
(
d
+
2
n
π
)
(
arctan
b
a
+
2
k
π
)
{
cos
[
c
(
arctan
b
a
+
2
k
π
)
+
1
2
(
d
+
2
n
π
)
ln
(
a
2
+
b
2
)
]
+
i
sin
[
c
(
arctan
b
a
+
2
k
π
)
+
1
2
(
d
+
2
n
π
)
ln
(
a
2
+
b
2
)
]
}
{\displaystyle (a+bi)^{\left(c+di\right)}=e^{{\frac {c}{2}}\ln \left(a^{2}+b^{2}\right)-\left(d+2n\pi \right)\left(\arctan {\frac {b}{a}}+2k\pi \right)}\left\{\cos \left[c\left(\arctan {\frac {b}{a}}+2k\pi \right)+{\frac {1}{2}}\left(d+2n\pi \right)\ln \left(a^{2}+b^{2}\right)\right]+i\sin \left[c\left(\arctan {\frac {b}{a}}+2k\pi \right)+{\frac {1}{2}}\left(d+2n\pi \right)\ln \left(a^{2}+b^{2}\right)\right]\right\}}
{
arctan
0
=
π
,
for
a
<
0
arctan
0
=
0
,
for
a
>
0
{\displaystyle {\begin{cases}\arctan 0={\pi },&{\mbox{for }}a<0\!\,\\\arctan 0=0,&{\mbox{for }}a>0\!\,\\\end{cases}}}
Z
=
{
k
,
n
}
{\displaystyle \mathbb {Z} =\{k,n\}}
自然對數函數的導數 是
d
d
x
ln
|
x
|
=
1
x
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}}}
。
通過應用換底規則,其他底數的導數是
d
d
x
log
b
x
=
d
d
x
ln
x
ln
b
=
1
x
ln
b
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\log _{b}x={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}{\frac {\ln x}{\ln b}}={\frac {1}{x\ln b}}}
。
自然對數
ln
x
{\displaystyle \ln x\,}
的不定積分 是
∫
ln
x
d
x
=
x
ln
x
−
x
+
C
,
{\displaystyle \int \ln x\,{\rm {d}}x=x\ln x-x+C,}
而其他底數對數的不定積分 是
∫
log
b
x
d
x
=
x
log
b
x
−
x
ln
b
+
C
=
x
log
b
x
e
+
C
{\displaystyle \int \log _{b}x\,{\rm {d}}x=x\log _{b}x-{\frac {x}{\ln b}}+C=x\log _{b}{\frac {x}{e}}+C}
。
有一些級數 用來計算自然對數。[ 11] 最簡單和低效的是:
ln
z
=
∑
n
=
1
∞
−
(
−
1
)
n
n
(
z
−
1
)
n
{\displaystyle \ln z=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-{(-1)}^{n}}{n}}(z-1)^{n}}
當
|
z
−
1
|
<
1
{\displaystyle |z-1|<1\!}
。
下做推導:
由
1
1
−
x
=
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots }
。
在兩邊積分得到
−
ln
(
1
−
x
)
=
x
+
x
2
2
+
x
3
3
+
⋯
{\displaystyle -\ln(1-x)=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+\cdots }
ln
(
1
−
x
)
=
−
x
−
x
2
2
−
x
3
3
−
x
4
4
−
⋯
{\displaystyle \ln(1-x)=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}-\cdots }
。
設
z
=
1
−
x
{\displaystyle z=1-x\!}
並因此
x
=
−
(
z
−
1
)
{\displaystyle x=-(z-1)\!}
,得到
ln
z
=
(
z
−
1
)
−
(
z
−
1
)
2
2
+
(
z
−
1
)
3
3
−
(
z
−
1
)
4
4
+
⋯
{\displaystyle \ln z=(z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\cdots }
更有效率的級數是基於反雙曲函數 的
ln
z
=
2
∑
n
=
0
∞
1
2
n
+
1
(
z
−
1
z
+
1
)
2
n
+
1
{\displaystyle \ln z=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2n+1}}
對帶有正實部的
z
{\displaystyle z}
。
推導:代換
−
x
{\displaystyle -x}
為
x
{\displaystyle x}
,得到
ln
(
1
+
x
)
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+
⋯
{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }
。
做減法,得到
ln
1
+
x
1
−
x
=
ln
(
1
+
x
)
−
ln
(
1
−
x
)
=
2
x
+
2
x
3
3
+
2
x
5
5
+
⋯
{\displaystyle \ln {\frac {1+x}{1-x}}=\ln(1+x)-\ln(1-x)=2x+2{\frac {x^{3}}{3}}+2{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots }
。
設
z
=
1
+
x
1
−
x
{\displaystyle z={\frac {1+x}{1-x}}\!}
並因此
x
=
z
−
1
z
+
1
{\displaystyle x={\frac {z-1}{z+1}}\!}
,得到
ln
z
=
2
[
z
−
1
z
+
1
+
1
3
(
z
−
1
z
+
1
)
3
+
1
5
(
z
−
1
z
+
1
)
5
+
⋯
]
{\displaystyle \ln z=2\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{3}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{5}+\cdots \right]}
。
例如,應用這個級數於
z
=
11
9
,
{\displaystyle z={\frac {11}{9}},}
得到
z
−
1
z
+
1
=
11
9
−
1
11
9
+
1
=
1
10
,
{\displaystyle {\frac {z-1}{z+1}}={\frac {{\frac {11}{9}}-1}{{\frac {11}{9}}+1}}={\frac {1}{10}},}
並因此
ln
1.
2
˙
=
1
5
(
1
+
1
3
⋅
100
+
1
5
⋅
10000
+
1
7
⋅
1000000
+
⋯
)
{\displaystyle \ln 1.{\dot {2}}={\frac {1}{5}}\left(1+{\frac {1}{3\cdot 100}}+{\frac {1}{5\cdot 10000}}+{\frac {1}{7\cdot 1000000}}+\cdots \right)}
=
0.2
⋅
(
1.0000000
⋯
+
0.00
3
˙
+
0.00002
+
0.000000
1
˙
4285
7
˙
+
⋯
)
{\displaystyle =0.2\cdot (1.0000000\dots +0.00{\dot {3}}+0.00002+0.000000{\dot {1}}4285{\dot {7}}+\cdots )}
=
0.2
⋅
1.00335
⋯
=
0.200670
⋯
{\displaystyle =0.2\cdot 1.00335\cdots =0.200670\cdots }
在這裏我們在第一行的總和中提出了因數
1
10
{\displaystyle {\frac {1}{10}}}
。
對於任何其他底數
β
{\displaystyle \beta }
,我們使用
log
β
x
=
ln
x
ln
β
{\displaystyle \log _{\beta }x={\frac {\ln x}{\ln \beta }}}
。
多數電腦語言 把
log
(
x
)
{\displaystyle \log(x)}
用做自然對數,而常用對數典型的指示為log10(x)。參數和返回值典型的是浮點資料類型。
因為參數是浮點數,可以有用的做如下考慮:
浮點數值
x
{\displaystyle x}
被表示為尾數
m
{\displaystyle m}
和指數
n
{\displaystyle n}
所形成的
x
=
m
2
n
{\displaystyle x=m2^{n}}
。
因此
ln
(
x
)
=
ln
(
m
)
+
n
ln
(
2
)
{\displaystyle \ln(x)=\ln(m)+n\ln(2)}
。
所以,替代計算
ln
(
x
)
{\displaystyle \ln(x)}
,我們計算對某個
m
{\displaystyle m}
的
ln
(
m
)
{\displaystyle \ln(m)}
使得
1
≤
m
≤
2
{\displaystyle 1\leq m\leq 2}
。有在這個範圍內的
m
{\displaystyle m}
意味着值
u
=
m
−
1
m
+
1
{\displaystyle u={\frac {m-1}{m+1}}}
總是在範圍
0
≤
u
<
1
3
{\displaystyle 0\leq u<{\frac {1}{3}}}
內。某些機器使用在範圍
0.5
≤
m
<
1
{\displaystyle 0.5\leq m<1}
內的尾數,並且在這個情況下
u
{\displaystyle u}
的值將在範圍
−
1
3
<
u
≤
0
{\displaystyle -{\frac {1}{3}}<u\leq 0}
內。在任何一種情況下,這個級數都是更容易計算的。
普通的正實數的對數一般化為負數和複數 參數,儘管它是多值函數 ,需要終止在分支點 0上的分支切割,來製作一個普通函數或主分支。複數
z
{\displaystyle z}
的(底數
e
{\displaystyle e}
)的對數是複數
ln
(
|
z
|
)
+
i
arg
(
z
)
{\displaystyle \ln(\left\vert z\right\vert )+i\arg(z)}
,這裏的
|
z
|
{\displaystyle \left\vert z\right\vert }
是
z
{\displaystyle z}
的模 ,
arg
(
z
)
{\displaystyle \arg(z)}
是輻角 ,而
i
{\displaystyle i}
是虛單位 ;詳情參見複對數 。
離散對數 是在有限群 理論中的相關概念。它涉及到解方程
b
n
=
x
{\displaystyle b^{n}=x}
,這裏的
b
{\displaystyle b}
和
x
{\displaystyle x}
是這個群的元素,而
n
{\displaystyle n}
是指定在群運算上的冪。對於某些有限群,據信離散對數是非常難計算的,而離散指數非常容易。這種不對稱性可用於公開金鑰加密 。
矩陣對數 是矩陣指數 的反函數。
對於不等於1的每個正數
b
{\displaystyle b}
,函數
log
b
(
x
)
{\displaystyle \log _{b}(x)}
是從在乘法下的正實數的群 到在加法下(所有)實數的群的同構 。它們是唯一的連續的這種同構。對數函數可以擴充為在乘法下正實數的拓撲空間 的哈爾測度 。
20世紀的常用對數 表的一個實例。
在發明計數機 之前,使用對數意味着查對數表 ,它必須手工建立。
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