海伦公式(英語:Heron's formula或Hero's formula),又譯希罗公式[1]。由古希臘數學家亞歷山大港的希羅發現,並在其於公元60年所著的《Metrica》中載有數學證明,原理是利用三角形的三條邊長求取三角形面積。亦有認為更早的阿基米德已經了解這條公式,因为《Metrica》是一部古代數學知識的結集,该公式的發現時間很有可能先於希羅的著作。[2]
假設有一個三角形,邊長分別為 a , b , c {\displaystyle a,b,c} ,三角形的面積 A {\displaystyle A} 可由以下公式求得:
中国南宋末年數學家秦九韶发现或知道等價的公式,其著作《數書九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何?”答曰:“三百十五顷.”其术文是:“以小斜幂併大斜幂,減中斜幂,餘半之,自乘於上;以小斜幂乘大斜幂,減上,餘四約之,爲實,一為從隅,開平方,得積。”若以大斜记为 a {\displaystyle a} ,中斜记为 b {\displaystyle b} ,小斜记为 c {\displaystyle c} ,秦九韶的方法相当于下面的一般公式:
像其他中國古代的數學家一样,他的方法沒有證明。根據现代數學家吴文俊的研究,秦九韶公式可由出入相補原理得出。
由於任何 n {\displaystyle n} 边的多邊形都可以分割成 n − 2 {\displaystyle n-2} 个三角形,所以海伦公式可以用作求多邊形面積的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。
与希羅在他的著作《Metrica》中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 的对角分别为 A , B , C {\displaystyle A,B,C} ,则余弦定理为
利用和平方、差平方、平方差等公式,从而有
設 △ A B C {\displaystyle \bigtriangleup ABC} 中, A B ¯ = c , B C ¯ = a , C A ¯ = b {\displaystyle {\overline {AB}}=c,{\overline {BC}}=a,{\overline {CA}}=b} 。
I {\displaystyle I} 為內心, I a , I b , I c {\displaystyle I_{a},I_{b},I_{c}} 為三旁切圓。
∵ ∠ I a B I = ∠ I a C I = 90 o {\displaystyle \because \angle I_{a}BI=\angle I_{a}CI=90^{\mathsf {o}}}
∴ I a C I B {\displaystyle \therefore I_{a}CIB} 四點共圓,並設此圓為圓 O {\displaystyle O} 。