جداء نقطي: الفرق بين النسختين
المظهر
[نسخة منشورة] | [نسخة منشورة] |
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
الرجوع عن تعديل معلق واحد من 197.202.148.216 إلى نسخة 15060132 من محمد مختاري. |
Emine.Houd (نقاش | مساهمات) تصحيح تشكيل كلمة وسمان: تحرير من المحمول تعديل ويب محمول |
||
(41 مراجعة متوسطة بواسطة 24 مستخدماً غير معروضة) | |||
سطر 1: | سطر 1: | ||
'''الجداء النقطي'''<ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q124741809|الصفحة=184}}</ref> أو '''الضرب النقطي''' أو '''الجداء القياسي''' أو '''الضرب القياسي''' أو '''الجداء السُّلَّمِيّ'''<ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q124741809|الصفحة=663}}</ref> {{إنج|Dot product}} هو عمليةٌ [[جبر]]ية بين [[متجه]]ين ونتيجتها [[كمية قياسية (توضيح)|كمية قياسية]]. |
|||
⚫ | |||
'''الجداء القياسي''' {{إنك|Dot product}} ويسمى أحيانا '''الضرب القياسي''' أو'''الجداء السُملي'''، هو عمليةٌ [[جبر|جبرية]] بين [[متجه|متجهين]] ونتيجتها [[كمية قياسية]]. |
|||
== تعريف == |
== تعريف == |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
يُعرف '''الجداء القياسي''' في المستوى لمتجهتين <math>\mathbf{A}</math> و <math>\mathbf{B}</math> كالآتي: |
|||
ليكن <math>E </math> [[فضاء متجهي]] حقيقي (معرف على [[حقل (رياضيات)|حقل]] [[عدد حقيقي|الأعداد الحقيقية]] <math>\mathbb{R}</math>) |
|||
:<math>\mathbf{A}\cdot \mathbf{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z</math> |
|||
حيث (A<sub>x</sub>, A<sub>y</sub>, A<sub>z</sub>) هي مركبات المتجه '''A''' و (B<sub>x</sub>, B<sub>y</sub>, B<sub>z</sub>) هي مركبات المتجه '''B'''. |
|||
نعرف '''الجداء السُلمي''' على أنه كل دالة <math> \langle\cdot|\cdot\rangle </math>: |
|||
يمكن استخدام الضرب القياسي هذا لمعرفة الزاوية الواقعة بين متجهين. |
|||
<math display="block"> \begin{alignat}{2} {\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }: \quad & E\times E \longrightarrow \mathbb{R} \\ &(x,y) \longmapsto \displaystyle \langle x |y \rangle \\ \end{alignat} |
|||
</math><math>\forall x,y,z \in E\quad\mathcal \forall a ,b \in {\displaystyle \mathbb {R} } </math> |
|||
* <math> \langle x|y\rangle=\langle y|x\rangle </math> |
|||
* <math> \langle a x+ b y|z\rangle=a \langle x|z\rangle+b \langle y|z\rangle </math> |
|||
* <math> \langle x|x\rangle\geq0 </math> |
|||
* <math> \langle x|x\rangle=0 \quad\Longleftrightarrow \quad x=0_E </math> |
|||
=== تعريف على <math>\mathbb{R}^n</math> === |
|||
الضرب القياسي '''''الاعتيادي''''' لمتجهتين <math> x=(x_1,x_2,...,x_n) </math> و <math> y=(y_1,y_2,...,y_n) </math> من <math>\mathbb{R}^n</math> يعرف ويرمز له بـ <ref>{{استشهاد بكتاب|مسار= https://www.worldcat.org/oclc/192082884|عنوان=Linear algebra|تاريخ=2009|ناشر=McGraw-Hill|ISBN=9780071543521|طبعة=4th ed|مكان=New York|OCLC=192082884|الأخير=Seymour.|الأول=Lipschutz,|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20100112172829/http://www.worldcat.org:80/oclc/192082884|تاريخ أرشيف=2010-01-12}}</ref> |
|||
⚫ | |||
:على سبيل المثال، في الفضاء ثلاثي الأبعاد <math>\mathbb{R}^3</math>، الضرب القياسي لمتجهين <math>(1,-3,5)</math> و <math>(-1,-2,4)</math> هو : |
|||
:<math>(-1,-2,4)\cdot (1,-3,5)=(-1)\times1+(-2)\times(-3)+4\times5=-1+6+20=25</math> |
|||
=== تعريف هندسي === |
=== تعريف هندسي === |
||
⚫ | |||
في [[فضاء إقليدي|الفضاء الإقليدي]]، صيغة أخرى لحاصل الضرب القياسي |
في [[فضاء إقليدي|الفضاء الإقليدي]]، صيغة أخرى لحاصل الضرب القياسي |
||
:<math>\mathbf{A}\cdot \mathbf{B} = AB \cos \theta</math> |
:<math>\mathbf{A}\cdot \mathbf{B} = AB \cos \theta</math> |
||
حيث ''A'' هو طول المتجه '''A''' و |
حيث ''A'' هو طول المتجه '''A''' و''B'' هو طول المتجه '''B''' وθ هي [[زاوية (هندسة)|الزاوية]] المحصورة بينهما. |
||
== خصائص == |
== خصائص == |
||
# [[عملية تبديلية|تبديلي]] : <math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}.</math> |
# [[عملية تبديلية|تبديلي]] : <math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}.</math> |
||
#: تنبثق هذه الخاصية من تعريف الجداء القياسي (θ هي الزاوية المحصورة بين a |
#: تنبثق هذه الخاصية من تعريف الجداء القياسي (θ هي الزاوية المحصورة بين a وb) |
||
#: <math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta = \|\mathbf{b}\|\|\mathbf{a}\|\cos\theta = \mathbf{b}\cdot\mathbf{a} </math> |
#: <math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta = \|\mathbf{b}\|\|\mathbf{a}\|\cos\theta = \mathbf{b}\cdot\mathbf{a} </math> |
||
# [[توزيعية|توزيعي]] على جمع المتجهات : (a.b + a.c = a.(b+c |
# [[توزيعية|توزيعي]] على جمع المتجهات : (a.b + a.c = a.(b+c |
||
# [[تعامد (جبر خطي)|تعامدي]] : متجهتان a |
# [[تعامد (جبر خطي)|تعامدي]] : متجهتان a وb مختلفتان عن الصفر يكونان متعامدتين [[إذا وفقط إذا]] توفر a.b = 0. |
||
# لا [[خاصية الإلغاء|إلغاء]] : |
# لا [[خاصية الإلغاء|إلغاء]] : |
||
=== تطبيق لقانون الجيب التمام === |
=== تطبيق لقانون الجيب التمام === |
||
[[ملف:Dot product cosine rule.svg|100px| |
[[ملف:Dot product cosine rule.svg|100px|تصغير|مثلث ضلعاه a وb تفصلهما زاوية θ.]] |
||
{{ |
{{مفصلة|قانون جيب التمام}} |
||
:<math> |
:<math> |
||
سطر 43: | سطر 55: | ||
== في الفيزياء == |
== في الفيزياء == |
||
الجداء القياسي يعبر عن كميات عددية لا علاقة لها برسم شعاع مثل ( |
الجداء القياسي يعبر عن كميات عددية لا علاقة لها برسم شعاع مثل (الجهد، العزم ....) |
||
== تعميمات == |
== تعميمات == |
||
=== الجداء الداخلي === |
=== الجداء الداخلي === |
||
{{ |
{{مفصلة|فضاء الجداء الداخلي}} |
||
انظر إلى [[فضاء متجهي معياري]]. |
انظر إلى [[فضاء متجهي معياري]]. |
||
== |
== انظر أيضا == |
||
* [[ضرب متجهي]] |
* [[ضرب اتجاهي|ضرب متجهي]] |
||
* [[ضرب المصفوفات]] |
* [[ضرب المصفوفات]] |
||
* [[جداء ثلاثي]] |
* [[جداء ثلاثي]] |
||
* [[متراجحة كوشي-شفارز]] |
* [[متباينة كوشي-شفارز|متراجحة كوشي-شفارز]] |
||
* [[ضرب خارجي (رياضيات)]] |
|||
* [[هيرمان غراسمان|هيرمان كراسمان]] |
|||
== مراجع == |
== مراجع == |
||
{{مراجع}} |
|||
== وصلات خارجية == |
== وصلات خارجية == |
||
{{بذرة رياضيات}} |
|||
{{جبر خطي}} |
{{جبر خطي}} |
||
{{تصنيف كومنز|Scalar product}} |
|||
{{مواضيع مهمة في علم الجبر}} |
|||
{{ضبط استنادي}} |
|||
{{شريط بوابات|جبر|رياضيات|هندسة رياضية}} |
|||
[[تصنيف:جبر خطي]] |
[[تصنيف:جبر خطي]] |
||
[[تصنيف:زوايا]] |
|||
[[تصنيف:عمليات ثنائية]] |
|||
[[تصنيف:متجهات]] |
[[تصنيف:متجهات]] |
||
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين]] |
|||
[[تصنيف:موترات]] |
|||
[[تصنيف:هندسة تحليلية]] |
[[تصنيف:هندسة تحليلية]] |
النسخة الحالية 20:08، 25 أبريل 2024
الجداء النقطي[1] أو الضرب النقطي أو الجداء القياسي أو الضرب القياسي أو الجداء السُّلَّمِيّ[2] (بالإنجليزية: Dot product) هو عمليةٌ جبرية بين متجهين ونتيجتها كمية قياسية.
تعريف[عدل]
تعريف جبري عام[عدل]
ليكن فضاء متجهي حقيقي (معرف على حقل الأعداد الحقيقية )
نعرف الجداء السُلمي على أنه كل دالة :
تعريف على [عدل]
الضرب القياسي الاعتيادي لمتجهتين و من يعرف ويرمز له بـ [3]
- على سبيل المثال، في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، الضرب القياسي لمتجهين و هو :
تعريف هندسي[عدل]
في الفضاء الإقليدي، صيغة أخرى لحاصل الضرب القياسي
حيث A هو طول المتجه A وB هو طول المتجه B وθ هي الزاوية المحصورة بينهما.
خصائص[عدل]
- تبديلي :
- تنبثق هذه الخاصية من تعريف الجداء القياسي (θ هي الزاوية المحصورة بين a وb)
- توزيعي على جمع المتجهات : (a.b + a.c = a.(b+c
- تعامدي : متجهتان a وb مختلفتان عن الصفر يكونان متعامدتين إذا وفقط إذا توفر a.b = 0.
- لا إلغاء :
تطبيق لقانون الجيب التمام[عدل]
وهذا هو قانون الجيب التمام. وتعبر أيضا عن خاصية الكاشي
في الفيزياء[عدل]
الجداء القياسي يعبر عن كميات عددية لا علاقة لها برسم شعاع مثل (الجهد، العزم ....)
تعميمات[عدل]
الجداء الداخلي[عدل]
انظر إلى فضاء متجهي معياري.
انظر أيضا[عدل]
مراجع[عدل]
- ^ أحمد شفيق الخطيب (2001). قاموس العلوم المصور: بالتعريفات والتطبيقات: إنجليزي - عربي (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1). بيروت: مكتبة لبنان ناشرون. ص. 184. ISBN:978-9953-10-218-4. OCLC:50131139. QID:Q124741809.
- ^ أحمد شفيق الخطيب (2001). قاموس العلوم المصور: بالتعريفات والتطبيقات: إنجليزي - عربي (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1). بيروت: مكتبة لبنان ناشرون. ص. 663. ISBN:978-9953-10-218-4. OCLC:50131139. QID:Q124741809.
- ^ Seymour.، Lipschutz, (2009). Linear algebra (ط. 4th ed). New York: McGraw-Hill. ISBN:9780071543521. OCLC:192082884. مؤرشف من الأصل في 2010-01-12.
{{استشهاد بكتاب}}
:|طبعة=
يحتوي على نص زائد (مساعدة)صيانة الاستشهاد: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين (link) صيانة الاستشهاد: علامات ترقيم زائدة (link)
وصلات خارجية[عدل]
في كومنز صور وملفات عن: جداء نقطي |