Distribució beta prima

Distribució beta prima

Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Tipus	distribució de probabilitat contínua
Paràmetres	$\alpha >0$ forma (real) $\beta >0$ forma (real)
Suport	$x>0\!$
fdp	$f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}\!$
FD	$I_{{\frac {x}{1+x}}(\alpha ,\beta )}$ on $I_{x}(\alpha ,\beta )$ és la funció beta incompleta
Esperança matemàtica	${\frac {\alpha }{\beta -1}}{\text{ si }}\beta >1$
Moda	${\frac {\alpha -1}{\beta +1}}{\text{ si }}\alpha \geq 1{\text{, 0 d'una altra manera}}\!$
Variància	${\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}{\text{ si }}\beta >2$
Coeficient de simetria	${\frac {2(2\alpha +\beta -1)}{\beta -3}}{\sqrt {\frac {\beta -2}{\alpha (\alpha +\beta -1)}}}{\text{ si }}\beta >3$
Mathworld	BetaPrimeDistribution

En teoria de la probabilitat i en estadística, la distribució beta prima (també coneguda com la distribució beta invertida, distribució beta de segona classe o distribució beta II) es una distribució de probabilitat absolutament contínua definida per $x>0$ amb dos paràmetres, α i β, que té la funció de densitat de probabilitat:

$f(x)={\begin{cases}{\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}$

on B és la funció beta.

La funció de distribució acumulada (FD) és

$F(x;\alpha ,\beta )=I_{\frac {x}{1+x}}\left(\alpha ,\beta \right),$

on I és la funció beta incompleta regularitzada.

El valor esperat, la variància i altres detalls de la distribució es donen en la taula de la dreta; per $\beta >4$, l'excés de curtosi és

$\gamma _{2}=6{\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)(5\beta -11)+(\beta -1)^{2}(\beta -2)}{\alpha (\alpha +\beta -1)(\beta -3)(\beta -4)}}$.

Si bé la distribució beta relacionada és la distribució a prior conjugada del paràmetre d'una distribució de Bernoulli s'expressa com una probabilitat, la distribució de beta prima és la distribució a prior conjugada del paràmetre d'una distribució de Bernoulli expressada en oportunitats. La distribució és una distribució de Pearson de tipus VI.

La moda d'una variable aleatòria X distribuïda com $\beta '(\alpha ,\beta )$ és ${\hat {X}}={\frac {\alpha -1}{\beta +1}}$.

La seva mitjana és ${\frac {\alpha }{\beta -1}}$ si $\beta >1$ (si $\beta \leq 1$, la mitjana és infinita, és a dir que no té ben definida la mitjana).

La seva variància és ${\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}$ si $\beta >2$.

Per $-\alpha <k<\beta$, el k-è moment $E[X^{k}]$està donat per

$E[X^{k}]={\frac {B(\alpha +k,\beta -k)}{B(\alpha ,\beta )}}.$

Per $k\in \mathbb {N}$ amb $k<\beta ,$ queda simplificat a

$E[X^{k}]=\prod _{i=1}^{k}{\frac {\alpha +i-1}{\beta -i}}.$

La funció de distribució acumulada també es pot escriure

$F(x)={\begin{cases}{\frac {x^{\alpha }\cdot _{2}F_{1}(\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +1,-x)}{\alpha \cdot B(\alpha ,\beta )}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}$

on ${}_{2}F_{1}$ és la funció hipergeomètrica de Gauss ₂F₁ .

La seva equació diferencial és:

$\left(x^{2}+x\right)f'(x)+f(x)(-\alpha +\beta x+x+1)=0,\qquad f(1)={\frac {2^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}$

Generalització

Es poden afegir dos paràmetres més per a formar la distribució beta prima generalitzada.

• $p>0$ forma (real)
• $q>0$ escala (real)

que té la funció de densitat de probabilitat

$f(x;\alpha ,\beta ,p,q)={\frac {p{\left({\frac {x}{q}}\right)}^{\alpha p-1}\left({1+{\left({\frac {x}{q}}\right)}^{p}}\right)^{-\alpha -\beta }}{qB(\alpha ,\beta )}}$

amb mitjana

${\frac {q\Gamma (\alpha +{\tfrac {1}{p}})\Gamma (\beta -{\tfrac {1}{p}})}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\quad {\text{si }}\beta p>1$

i moda

$q\left({\frac {\alpha p-1}{\beta p+1}}\right)^{\tfrac {1}{p}}\quad {\text{si }}\alpha p\geq 1$

Si una variable aleatòria X segueix una distribució beta prima generalitzada, s'anotarà $X\sim \beta ^{'}(\alpha ,\beta ,p,q)$.

Si p=q=1, llavors la distribució beta prima generalitzada és igual a la distribució beta prima estàndard.

La distribució gamma composta

La distribució gamma composta és la generalització de la distribució beta prima quan el paràmetre d'escala q, s'afegeix, però on p = 1. Es diu així perquè està format per la combinació de dues distribucions gamma:

$\beta '(x;\alpha ,\beta ,1,q)=\int _{0}^{\infty }G(x;\alpha ,p)G(p;\beta ,q)\;dp$

on G(x;a,b) és la distribució gamma amb una forma i escala inversa b. Aquesta relació es pot utilitzar per generar variables aleatòries amb una distribució gama composta o amb una distribució beta prima.

La moda, la mitjana i la variància de la distribució gama composta poden ser obtingudes multiplicant la moda i la mitjana que apareixen a la taula del principi per q i la variància per q².

Propietats

• Si $X\sim \beta '(\alpha ,\beta )$ llavors ${\tfrac {1}{X}}\sim \beta '(\beta ,\alpha )$.
• Si $X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)$ llavors $kX\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,kq)$.
• $\beta '(\alpha ,\beta ,1,1)=\beta '(\alpha ,\beta )$

Distribucions relacionades i propietats

• Si $X\sim F(2\alpha ,2\beta )$, llavors $X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,1,{\tfrac {\alpha }{\beta }})$, o de forma equivalent, ${\tfrac {\alpha }{\beta }}X\sim \beta '(\alpha ,\beta )$
• Si $X\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,\beta )$, llavors ${\frac {X}{1-X}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )$
• Si $X\sim \Gamma (\alpha ,1)$ i $Y\sim \Gamma (\beta ,1)$ són independents, llavors ${\frac {X}{Y}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )$.
• Parametrització 1: Si $X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\theta _{k})$ són independents, llavors ${\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\theta _{1}}{\theta _{2}}})$
• Parametrització 2: Si $X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})$ són independents, llavors ${\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\beta _{2}}{\beta _{1}}})$
• $\beta '(p,1,a,b)={\textrm {Dagum}}(p,a,b)$ és la distribució de Dagum.
• $\beta '(1,p,a,b)={\textrm {SinghMaddala}}(p,a,b)$ és la distribució de Singh-Maddala.
• $\beta '(1,1,\gamma ,\sigma )={\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )$ és la distribució log-logística.
• La distribució beta prima és un cas especial de la distribució de Pearson de tipus VI.
• La distribució de Pareto de tipus II està relacionada amb la distribució beta prima.
• La distribució de Pareto de tipus IV està relacionada amb la distribució beta prima.
• La distribució de Dirichlet invertida és una generalització de la distribució beta prima.

Bibliografia

• Dubey, Satya D. Compound gamma, beta and F distributions (vol. 16) (en anglès). Metrika, 1970. DOI 10.1007/BF02613934. 
• Jonhnson, N.L; Kotz, S. Continuous Univariate Distributions (vol. 2) (en anglès), 1995. ISBN 0-471-58494-0. 

Enllaços externs

• Distribució beta prima, en MathWorld. (anglès)