Polinomis de Touchard

Els Polinomis de Touchard (en honor de Jacques Touchard), sovint també anomenats polinomis exponencials comprenen una seqüència polinomial de tipus binomial definida per:

$T_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}x^{k}$

On S (n, k) correspon a un nombre de Stirling de segona espècie, és a dir, el nombre de particions d'un conjunt de n elements en k subconjunts no buits. I La segona notació, que inclou l'ús de claus, va ser introduïda per Donald Knuth.

Avaluant en 1 l'n-èsim polinomi de Touchard obtenim l'n-èsim nombre de Bell, és a dir, el nombre de particions d'un conjunt d'n elements:

$T_{n}(1)=B_{n}$

Si X és una variable aleatòria amb una distribució de Poisson i un nombre esperat d'ocurrències λ, llavors el seu n-èsim moment és T _n (λ) = E ( X ⁿ ). Usant aquest fet es pot provar fàcilment que aquesta seqüència polinomial és de tipus binomial, és a dir, satisfà la seqüència d'identitats:

$T_{n}(\lambda +\mu )=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(\lambda )T_{nk}(\mu ).$

Els polinomis de Touchard constitueixen l'única seqüència polinomial de tipus binomial en la qual el coeficient del terme de primer grau de cada polinomi és 1.

Els polinomis de Touchard satisfan la relació recursiva:

$T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).$

Si x = 1, l'expressió es redueix a la fórmula recursiva dels nombres de Bell.

La funció generatriu dels polinomis Touchard és:

$\sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{x\left(e^{t}-1\right)}.$