Deltaedre

Deltaedre

Tipus	políedre
Forma de les cares	triangle equilàter ()
Més informació
MathWorld	Deltahedron

El deltaedre convex més gran és l'icosaedre

Un deltaedre és un políedre on totes les seves cares són triangles equilàters iguals. S'anomenen així per la lletra grega delta que en majúscules s'escriu com un triangle (Δ). Hi ha infinits deltaedres, però sols vuit són convexos, d'aquests, sols 3 són regulars.

Cares, vèrtexs i arestes als deltaedres

Del fet que les cares siguin sempre triangles, es dedueix que el nombre d'arestes és $3C/2$, on $C$ és el nombre de cares. Això implica que no hi ha deltaedres amb un nombre senar de cares. La fórmula d'Euler també dona el nombre de vèrtexs en funció de les cares $V=C/2+2$

Analitzant els deltaedres succeeix que apareixen cares contigües coplanars, per exemple si a un vèrtex coincideixen 6 cares. Aquests poliedres amb cares no triangulars o desiguals que es poden subdividir en triangles no es consideren deltaedres en sentit estricte.

Els deltaedres mantenen sempre la seva forma, són rígids. Construïts com a esquelets és a dir sols amb les arestes, no es poden deformar. Aquesta propietat no sempre es compleix als políedres, l'esquelet d'un cub, per exemple, es pot deformar com a prisma de base ròmbica o fins i tot quedar aplanat.

Els vuit deltaedres convexos

Sols hi ha vuit deltaedres convexos: tres són poliedres regulars i cinc sòlids de Johnson.

Deltaedres regulars
Imatge	Nom	Cares	Arestes	Vèrtexs	Configuració dels vèrtexs	Grup de simetria
	tetraedre	4	6	4	4 vèrtexs d'ordre 3 (on coincideixen 3 cares)	Td, [3,3]
	octaedre	8	12	6	6 vèrtexs d'ordre 4 (on coincideixen 4 cares)	Oh, [4,3]
	icosaedre	20	30	12	12 vèrtexs d'ordre 5 (on coincideixen 5 cares)	Ih, [5,3]

Deltaedres de Johnson
Imatge	Nom	Número de Johnson	Cares	Arestes	Vèrtexs	Configuració dels vèrtexs	Grup de simetria
	bipiràmide triangular	J12	6	9	5	2 vèrtexs d'ordre 3 3 vèrtexs d'ordre 4	D3h, [3,2]
	bipiràmide pentagonal	J13	10	15	7	5 vèrtexs d'ordre 4 2 vèrtexs d'ordre 5	D5h, [5,2]
	bisfenoide xato (dodecàedre siamès)	J84	12	18	8	4 vèrtexs d'ordre 4 4 vèrtexs d'ordre 5	D2d, [2,2]
	prisma triangular triaugmentat	J51	14	21	9	3 vèrtexs d'ordre 4 6 vèrtexs d'ordre 5	D3h, [3,2]
	bipiàmide quadrada giroallargada	J17	16	24	10	2 vèrtexs d'ordre 4 8 vèrtexs d'ordre 5	D4d, [4,2]

Aquests cinc darrers deltaedres no són regulars, ja que tot i tenir totes les cares com a triangles equilàters iguals tenen vèrtexs de diferents tipus. Per exemple la bipiràmide triangular té dos vèrtexs d'ordre 3 on coincideixen tres cares i tres vèrtexs d'ordre 4 on coincideixen 4 cares. Es classifiquen per això dins el grup dels sòlids de Johnson.

Els deltaedres no convexos o còncaus

Hi ha infinits deltaedres no convexos, per veure això sols cal imaginar els poliedres que es poden aconseguir enganxant tetraedres iguals.

Alguns dels més simples són els que es mostren a continuació, les possibles cadenes i ramificacions de deltaedres simples enganxats són infinites

Unió de 3 tetraedres, 8 cares	Unió de 4 tetraedres, 10 cares	Unió de 5 tetraedres, 12 cares	Unió de 8 octaedres, 48 cares

Són coneguts els deltaedres generats a partir dels poliedres regulars construint piràmides fetes amb triangles equilàters, enganxades sobre les seves cares

Poliedre construït amb un tetraedre com a nucli, enganxant 4 tetraedres a les seves cares	Poliedre construït amb un cub de nucli, enganxant 6 piràmides quadrades a les cares	Estel octangle construït amb un octaedre de nucli, enganxant 8 tretraedres a les cares	Poliedre construït amb un dodecaedre regular de nucli, enganxant 12 piràmides pentagonals a les cares	Poliedre construït amb un icosaedre regular de nucli, enganxant 20 tetraedres a les cares
12 triangles	24 triangles		60 triangles

En lloc d'enganxar piràmides a les cares podem extreure-les com el següent exemple

Poliedre format a partir d'un dodecaedre del qual s'han extret de cada cara les piràmides
60 triangles