Algebraická struktura
Algebraická struktura je v matematice každá množina, na které jsou definované nějaké operace a daná množina je vzhledem k těmto operacím uzavřená, tzn. že výsledkem operace nad prvky této množiny je vždy také prvek této množiny. Algebraická struktura je speciálním případem struktury definované v matematické logice.
Studiem konkrétních algebraických struktur se zabývá abstraktní algebra, resp. její různé disciplíny – teorie grup, teorie okruhů, teorie těles,…
Studiem vlastností, které mají všechny nebo mnoho algebraických struktur společné, se zabývá univerzální algebra a ještě obecněji (se zahrnutím i jiných než algebraických struktur) pak teorie kategorií.
Definice
Mějme neprázdnou množinu M a neprázdnou množinu operací O na množině M. Pak se uspořádaná dvojice (M, O) nazývá algebraická struktura. Množina M se pak nazývá nosič této algebraické struktury.
Příklady
Algebraické struktury
- (N; +) - množina přirozených čísel s operací sčítání.
- (N; .) - množina přirozených čísel s operací násobení.
- (N; +, .) - množina přirozených čísel s operacemi sčítání a násobení.
- Booleovy algebry, grupy, okruhy, tělesa, vektorové prostory a svazy jsou algebraické struktury.
Nejsou algebraickými strukturami
- (N; -) - množina přirozených čísel není vzhledem k operaci odčítání uzavřená. Např. 2 ∈ N, 3 ∈ N, ale 2-3 ∉ N.
- (N; :) - množina přirozených čísel není vzhledem k operaci dělení uzavřená. Např. 5 ∈ N, 3 ∈ N, ale 5:3 ∉ N.
- Uspořádané množiny, metrické, grafy, topologické prostory, stejně jako mnoho dalších matematických struktur, zavádějí na nosné množině jiné vztahy, než jsou algebraické operace.
Vlastnosti operací
Klasifikace
Algebraické struktury s jednou operací
- Grupoid je algebraická struktura s jednou operací.
- Kvazigrupa je grupoid uzavřený vzhledem k operaci inverze.
- Pologrupa je asociativní grupoid.
- Monoid je pologrupa s neutrálním prvkem.
- Grupa je monoid s inverzními prvky.
- Abelova grupa je grupa s komutativní operací.
Algebraické struktury se dvěma operacemi
- Polookruh je algebraická struktura, která je vzhledem ke sčítání komutativní monoid a vzhledem k násobení monoid.
- Okruh je algebraická struktura s distributivností, která je vzhledem ke sčítání komutativní grupou a vzhledem k násobení pologrupou.
- Obor integrity je okruh s jednotkovým prvkem, který neobsahuje netriviální dělitele nuly.
- Těleso je okruh, který je grupou vzhledem k násobení.
- Pole je těleso, které je vzhledem k násobení komutativní grupou.
Algebraické struktury s uspořádáním
- Částečně uspořádaná množina (poset)
- Polosvaz
- Svaz (například Booleova algebra)
Souvislost s relačními strukturami
Matematická struktura (nebo také relační struktura) je obecnějším pojmem než struktura algebraická. Matematická struktura je totiž tvořena dvojicí (M,R), kde R je množina relací definovaných v M. Protože každou n-ární operaci lze považovat za (n+1)-ární relaci je každá algebraická struktura zároveň matematickou strukturou. Obráceně to neplatí - například struktura (N; ≤) je matematická struktura, není však algebraická struktura. Společným zobecněním relačních a algebraických struktur je pojem struktury definovaný v matematické logice – tato struktura může obsahovat jak operace, tak relace.