Algebraická struktura

Algebraická struktura či algebra je v matematice každá množina, na které jsou definované nějaké operace a daná struktura je na tyto operace uzavřená. Algebraická struktura je speciálním případem struktury definované v matematické logice.

Studiem konkrétních algebraických struktur se zabývá algebra, resp. její různé disciplíny – teorie grup, teorie okruhů, teorie těles,… Ze zcela obecného hlediska zkoumá algebraické struktury univerzální algebra.

Definice

Mějme neprázdnou množinu M a neprázdnou množinu operací O na množině M. Pak se uspořádaná dvojice (M, O) nazývá algebraická struktura. Množina M se pak nazývá nosič této algebraické struktury.

Příklady

Algebraické struktury

• (N; +) - množina přirozených čísel s operací sčítání
• (N; .) - množina přirozených čísel s operací násobení
• (N; +, .) - množina přirozených čísel s operacemi sčítání a násobení.
• Booleovy algebry, grupy, okruhy, tělesa, vektorové prostory a svazy jsou algebraické struktury

Nejsou algebraickými strukturami

• (N; -) - množina přirozených čísel není na operaci odečítání uzavřená, tj. v množině nelze neomezeně odečítat, dříve či později by byl výsledkem této operace prvek mimo množinu N.
• (N; :) - množina přirozených čísel není na operaci dělení uzavřená, tj. v množině nelze neomezeně dělit, dříve či později by byl výsledkem této operace prvek mimo množinu N.

Souvislost s relačními strukturami

Matematická struktura (nebo také relační struktura) je obecnějším pojmem než struktura algebraická. Matematická struktura je totiž tvořena dvojicí (M,R), kde R je množina relací definovaných v M. Protože každou n-ární operaci lze považovat za (n+1)-ární relaci je každá algebraická struktura zároveň matematickou strukturou. Obráceně to neplatí - například struktura (N; ≤) je matematická struktura, není však algebraická struktura. Společným zobecněním relačních a algebraických struktur je pojem struktury definovaný v matematické logice – tato struktura může obsahovat jak operace, tak relace.

Vlastnosti operací

• asociativita
• neutrální prvek
• inverzní prvek
• komutativita
• distributivita

Klasifikace

Algebraické struktury s jednou operací

• Grupoid je algebraická struktura s jednou operací.
• Kvazigrupa je grupoid, na kterém lze neomezeně provádět inverzní operaci.
• Pologrupa je asociativní grupoid.
• Monoid je pologrupa s neutrálním prvkem.
• Grupa je monoid s inverzními prvky.
• Abelova grupa je komutativní grupa.

Algebraické struktury se dvěma operacemi

• Polookruh je algebraická struktura, která je vzhledem ke sčítání komutativní monoid a vzhledem k násobení monoid
• Okruh je algebraická struktura s distributivností, která je ke sčítání komutativní grupou a k násobení pologrupou.
• Obor integrity je okruh s jednotkovým prvkem, který neobsahuje netriviální dělitele nuly
• Těleso je okruh, který je grupou vůči násobení
• Pole je těleso, které je vůči násobení komutativní grupou

Algebraické struktury s uspořádáním

• Částečně uspořádaná množina (poset)
• Polosvaz
• Svaz
• Booleova algebra je svaz s nulou a jednotkou, který je komplementární a distributivní