„Benutzer:Schwatzwutz/Küche“ – Versionsunterschied
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Die Gleichheit 0.999... = 1 ist seit langem in der Mathematik akzeptiert und ein Teil des mathematischen Unterrichts. Nichtsdestotrotz empfinden es viele Schüler als hinreichend kontraintuitiv, um es anzuzweifeln oder abzulehnen. Somit ist die Schwierigkeit sie davon zu überzeugen Untersuchungsgegenstand vieler Studien der mathematischen Pädagogik. |
Die Gleichheit 0.999... = 1 ist seit langem in der Mathematik akzeptiert und ein Teil des mathematischen Unterrichts. Nichtsdestotrotz empfinden es viele Schüler als hinreichend kontraintuitiv, um es anzuzweifeln oder abzulehnen. Somit ist die Schwierigkeit sie davon zu überzeugen Untersuchungsgegenstand vieler Studien der mathematischen Pädagogik. |
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== Algebraische Beweise == |
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Algebraische Beweise, die zeigen, dass 0.999... die Zahl 1 repräsentiert benutzen [[Bruch|Brüche]], [[schriftliche Division]] und Ziffermanipulation, um Transformationen zu konstruieren, die die Gleichheit erhalten. |
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= Brüche und schriftliche Division = |
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Unendliche Dezimalstellen sind ein notwendiges Konzept, um [[rationale Zahl]]en (Brüche) darzustellen. Mit simpler [[schriftliche Division|schriftlicher Division]] zweier Zahlen wie 1/9 entsteht eine sich wiederholende Dezimalzahl, 0.111..., in der die 1 als Nachkommastelle unendlich oft wiederkehrt. Dadurch ergibt sich leicht ein Beweis der Gleicheit von 0.999... und 1. |
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\begin{align} |
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\frac{1}{9} & = 0.111\dots \\ |
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9 \times \frac{1}{9} & = 9 \times 0.111\dots \\ |
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1 & = 0.999\dots |
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\end{align} |
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</math> |
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Alternativ kann 1/3 = 0.333 mit 3 multipliziert werden. |
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Version vom 12. Oktober 2013, 20:20 Uhr
https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=0.999...&oldid=576300590
0.999...
In der Mathematik bezeichnet der Dezimalbruch 0.999... (auch mit mehr oder weniger 9en vor der Ellipse, 0.(9) oder 0.9) die reelle Zahl Eins. Beweise dieser Gleichheit wurden mit verschieden starker mathematischer Strenge formuliert, je nach verwendeter Grundlage der reellen Zahlen, Startannahmen, historischem Kontext und Zielgruppe.
Zu jeder terminierenden Dezimalzahl findet sich eine äquivalente Darstellung mit unendlich vielen 9en, wie z. B. 8.32 und 8.31999... Die terminierende dezimale Darstellung wird dabei meistens bevorzugt, was zu dem Misverständnis beiträgt, es gebe nur diese eine. Dasselbe Phänomen tritt auch in allen anderen Stellenwertsystemen auf.
Die Gleichheit von 0.999... und 1 ist nah verwandt mit der Nichtexistenz von Infinitesimalzahlen innerhalb der reellen Zahlen. In alternativen Zahlenmengen wie den hyperreellen Zahlen, treten Infinitesimalzahlen auf. Solche Mengen lassen im Gegensatz zu den reellen Zahlen einen Unterschied zwischen den Symbolen 1 und 0.999... zu, da letzteres dort so interpretiert wird, dass es infinitesimal kleiner ist als 1.
Die Gleichheit 0.999... = 1 ist seit langem in der Mathematik akzeptiert und ein Teil des mathematischen Unterrichts. Nichtsdestotrotz empfinden es viele Schüler als hinreichend kontraintuitiv, um es anzuzweifeln oder abzulehnen. Somit ist die Schwierigkeit sie davon zu überzeugen Untersuchungsgegenstand vieler Studien der mathematischen Pädagogik.
Algebraische Beweise
Algebraische Beweise, die zeigen, dass 0.999... die Zahl 1 repräsentiert benutzen Brüche, schriftliche Division und Ziffermanipulation, um Transformationen zu konstruieren, die die Gleichheit erhalten.
Brüche und schriftliche Division
Unendliche Dezimalstellen sind ein notwendiges Konzept, um rationale Zahlen (Brüche) darzustellen. Mit simpler schriftlicher Division zweier Zahlen wie 1/9 entsteht eine sich wiederholende Dezimalzahl, 0.111..., in der die 1 als Nachkommastelle unendlich oft wiederkehrt. Dadurch ergibt sich leicht ein Beweis der Gleicheit von 0.999... und 1.
Alternativ kann 1/3 = 0.333 mit 3 multipliziert werden.