Diskussion:Kepler-Gleichung

Kepler-Gleichung und Anomalie

zu den fehlenden Mittlere Anomalie, Wahre Anomalie, Exzentrische Anomalie (definition rudimentär in BKL Anomalie), Mittelpunktsgleichung: fragt sich, ob diese begriffe nicht doch in Keplerbahn behandelt werden sollen, da Keplerbahn und Anomalie untrennbar verbunden sind: Herleitung der Keplerbahn.

• Bilder schon vorhanden: Commons:Category:Kepler motions, Commons:Category:Ellipses

leider nur englisch

auch SXD

auch zu parabolischen und hyperbolischen keplerbahnen (und deren bahnelemente) sollte etwas gesagt werden, ebenso in Keplersche Gesetze

--W!B:

Bild mit englischer Beschriftung ist ok

Die Abbildung mit deutscher Beschriftung ist vollkommen verwirrend. Die Bezeichnung der Winkel und Strecken ist zumindest unüblich. Die englische Abbildung ist korrekt und gut zur Erklärung geeigent. Für kleine E (kleiner 90 Grad) ist E größer als M. Die Bezeichnungen x,y und T sind allerdings etwas unglücklich.

Link wg Spamfilter entfernt

Habe folgenden link entfernt, da er (wg. Spamfilter) Änderungen am Artikel verhindert hat:

== Weblinks == * Franz Scheerer: [http://www.scheerer-software.de/planet.html Berechnung der Position der Planeten] ([[JavaScript]])

--KleinKlio 03:04, 21. Okt. 2006 (CEST)

ah, jetzt weiß ich auch was „Spamfilter“ heisst, der bleibt also draussen, und Dein problem hat sich hoffentlich erledigt.. gruß -- W!B: 21:53, 23. Okt. 2006 (CEST)

Bahngeschwindigkeit

Auch so kann man die Bahngeschwindigkeit ermitteln.

$v={\sqrt {2\cdot \mu \cdot {\frac {2\cdot a-r}{2\cdot a\cdot r}}}}={\sqrt {2\cdot \mu \cdot {\frac {(r_{0}+r_{1})-r}{(r_{0}+r_{1})\cdot r}}}}\qquad \qquad r_{0}\leq r\leq r_{1}$

u=M*G(Erdmasse * Gravitationskonstante), a=grosse Halbachse, r0 und r1 sind Perigäum und Apogäum.--Willi windhauch 17:42, 10. Jan. 2011 (CET)

Nun, da fällt mir ein, die Gravitationskonstante kannte Kepler noch nicht, wohl aber die Umlaufzeit U und die errechnet sich so:

$U={\frac {\pi \cdot {(r_{0}+r_{1})}^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {2\cdot \mu }}}$

Daraus folgt nun

$v={\frac {\pi \cdot (r_{0}+r_{1})}{U}}\cdot {\sqrt {{\frac {(r_{0}+r_{1})}{r}}-1}}$

Und daraus ergeben sich speziell für Perigäum und Apogäum.

$v_{0}={\frac {\pi \cdot (r_{0}+r_{1})}{U}}\cdot {\sqrt {\frac {r_{1}}{r_{0}}}}\qquad \qquad v_{1}={\frac {\pi \cdot (r_{0}+r_{1})}{U}}\cdot {\sqrt {\frac {r_{0}}{r_{1}}}}$

--Willi windhauch 14:18, 16. Jan. 2011 (CET)

Speziell für die Erde gilt: http://de.wikipedia.org/wiki/Erde

$v_{0}={\frac {\pi \cdot 2{,}992\cdot 10^{11}m}{31558118s}}\cdot {\sqrt {\frac {1{,}017}{0{,}983}}}\sim 30296{\frac {m}{s}}\qquad \qquad v_{1}={\frac {\pi \cdot 2{,}992\cdot 10^{11}m}{31558118s}}\cdot {\sqrt {\frac {0{,}983}{1{,}017}}}\sim 29283{\frac {m}{s}}$

Abschließend sei noch zu erwähnen:

$a={\frac {r_{1}+r_{0}}{2}}\qquad b={\sqrt {r_{1}\cdot r_{0}}}\qquad e={\frac {r_{1}-r_{0}}{r_{1}+r_{0}}}$

(b=kleine Halbachse e=numerische Exzentrität).

Und noch die Mittelpunktsgleichung

$y=\pm {\frac {b}{a}}\cdot {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$

Äußerst schwach finde ich im Hauptartikel übrigens, dass zwar eine Formel für die Bahngeschwindigkeit angegeben wird, die zugehörigen Parameter aber nicht erklärt werden!--Willi windhauch 10:02, 17. Jan. 2011 (CET)

Ich bin zwar nicht der Ersteller des Artikels/Abschnitts zu "Ideale Keplerbahn" gewesen, hab diesen nur kopiert/integriert, einen Umleitungslink gesetzt und etwas geupdatet, aber ich übernehme hier mal kurz die Rolle des Unwissenden. Was stört dich explizit an den Abschnitt? Und wieso änderst du diesen nicht dementsprechend ab? ;-) Weiterhin finde ich Kommentare wie: "...Äußerst schwach finde ich..." als eher kontraproduktiv. [[Benutzer:Markus_R_Schmidt]] 22:14, 18. Jan. 2011 (CET)

Les halt einfach den Satz über dir. Was ist da unverständlich? Wie soll ein Laie anhand des Hauptartikels die Bahngeschwindigkeit eines Satelliten ausrechnen können? Ich kann es auch nur deswegen, weil ich mir obige Formeln selbst abgeleitet habe. Nur anhand des Hauptartikels wäre ich da völlig aufgeschmissen gewesen.--Willi windhauch 17:37, 27. Jan. 2011 (CET)

Und wieso änderst du es im Hauptartikel nicht entsprechend? [[Benutzer:Markus_R_Schmidt]] 18:46, 27. Jan. 2011 (CET)

Nachtrag: leichter kann man es jedoch mit der Vis-Viva-Gleichung berechnen. (Grav-Konstante, Sonnenmasse, Erdabstand). mfg [[Benutzer:Markus_R_Schmidt]] 21:14, 27. Jan. 2011 (CET)

Danke, der Hinweis auf die “Vis Viva Gleichung” macht die Sache jetzt völlig klar! Dieser Hinweis fehlt halt im Hauptartikel.

Wenn man nämlich meine erste Formel oben umstellt, kommt man genau auf die folgende Gleichung. Vielleicht bau ich das im Hauptartikel noch ein.

$v^{2}=\mu \left({{2 \over {r}}-{1 \over {a}}}\right)$

$\mu =G\cdot M(Gravitationskonstante*Erdmasse)$ --Willi windhauch 04:56, 28. Jan. 2011 (CET)

Winkelgeschwindigkeit

Aus dem Text:

Die wahre Anomalie ist die Winkelgeschwindigkeit ω im Gravizentrum.

Das kann ja wohl nicht sein. Die wahre Anomalie ist ein Winkel. Die Winkelgeschwindigkeit ω ist die Ableitung der wahren Anomalie nach der Zeit. -- Digamma 22:42, 27. Jan. 2011 (CET)

Bahndrehimpuls

Die Formel $v^{2}={\frac {C^{2}}{p}}\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$ kann nicht stimmen, zumindest nicht, wenn die Legende stimmt. Im Bahndrehimpuls steckt nämlich die Masse des Himmelskörpers, deshalb steckt in der rechten Seite die Masse zum Quadrat, während auf der linken Seite nur die kinematischen Größen Länge und Zeit eingehen. -- Digamma 22:49, 27. Jan. 2011 (CET)

Sie stimmt, wenn gilt

${\frac {C^{2}}{p}}=\mu =M\cdot G$

Was jedoch die Parameter C und p anbelangt, darüber gibt der Hauptartikel keine Auskunft und solange ich nicht weiß was sie bedeuten, kann ich ihn auch nicht ändern. Ich möchte auch nicht unbedingt im Werk von Anderen rumpfuschen. --Willi windhauch 05:08, 28. Jan. 2011 (CET)

Ja super, physikalische Formeln haben keinerlei Bedeutung, solange die Formelzeichen nicht erklärt sind. Was sollen P, M und G sein? -- Digamma 12:17, 28. Jan. 2011 (CET)

Okay, jetzt noch mal die Formel mit Erklärung aller Parameter: Es soll die Bahngeschwindigkeit eines Satelliten um die Erde ermittelt werden.

$v^{2}=M\cdot G\cdot ({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}})=2\cdot M\cdot G\cdot {\frac {(r_{0}+r_{1})-r}{(r_{0}+r_{1})\cdot r}}$

v = Geschwindigkeit des Satelliten. M=Erdmasse G=Gravitationskonstante (6,672*10^-11 m³/kg/s²) r=Abstand des Satelliten (zum Erdmittelpunkt) r0= geringster Abstand des Satelliten (zum Erdmittelpunkt) r1 = grössterAbstand des Satelliten (zum Erdmittelpunkt) a= grosse Halbachse = (r0+r1)/2 --Willi windhauch 19:48, 28. Jan. 2011 (CET)

Das ist jetzt aber eine andere Formel. Hier geht es jetzt um Newtonsche Mechanik. Es steckt das Gravitationsgesetz drin und die "Zutaten" Gravitationskonstante und Erdmasse.

Die ursprüngliche Formel bleibt im Rahmen der keplerschen Kinematik. Sie enthält nur Daten über die Bahn, nämlich (nach der Erklärung unten) die Flächengeschwindigkeit und den Halbparameter p, eine Größe, die zusammen mit der großen Halbachse a die Form der Ellipse beschreibt.

Das P bleibt mir noch fremd. Unter "Potential" verstehe ich eine Größe, die vom Ort abhängt, und zwar den Quotienten aus potentieller Energie eines Körpers und seiner Masse, eine Größe, die nur vom Ort innerhalb des Schwerefelds abhängt. Das P scheint aber etwas anderes zu sein, etwas, das das Schwerefeld global beschreibt. -- Digamma 20:23, 28. Jan. 2011 (CET)

Na gut, wenn ich ein wenig nachforsche, seh ich dass der Begriff Gravitationspotential (P) in der Physik anders verwendet wird, deswegen hab ich mein Geschreibsel ein wenig abgeändert.--Willi windhauch 12:45, 29. Jan. 2011 (CET)

$C$ ist offenbar der Drehimpuls geteilt durch die Masse des Himmelskörpers. In Sommerfeld, Mechanik, wird die Größe $C=r^{2}\omega$ „Flächenkonstante“ genannt. Das wäre vermutlich auch hier die bessere Bezeichnung. --ulm 08:29, 28. Jan. 2011 (CET)

Danke, diese Information genügt nun, um die im Hauptartikel angegebene Formel zu erklären. Denn es gilt:

$C^{2}=v_{0}^{2}\cdot r_{0}^{2}=v_{1}^{2}\cdot r_{1}^{2}$

$p=2\cdot {\frac {r_{0}\cdot r_{1}}{r_{0}+r_{1}}}={\frac {b^{2}}{a}}$

$\mu ={\frac {C^{2}}{p}}={\frac {v_{0}^{2}\cdot r_{0}^{2}\cdot a}{b^{2}}}={\frac {v_{1}^{2}\cdot r_{1}^{2}\cdot a}{b^{2}}}=v_{0}^{2}\cdot {\frac {r_{0}+r_{1}}{2}}\cdot {\frac {r_{0}}{r_{1}}}=v_{1}^{2}\cdot {\frac {r_{0}+r_{1}}{2}}\cdot {\frac {r_{1}}{r_{0}}}$

--Willi windhauch 09:27, 30. Jan. 2011 (CET)

Das ist das doppelte der Flächengeschwindigkeit, sehe ich das richtig? Auf jeden Fall steht es im Artikel falsch. -- Digamma 12:17, 28. Jan. 2011 (CET)

Maximal und Minimalgeschwindigkeit

Und dass die letzte Gleichung des Artikels überhaupt nicht hinhaut, das kann ja schon fast der mathematische Laie sehen. Denn die Bahngeschwindigkeit hängt ja nicht nur von der Exzentrität der Ellipse ab, sondern auch von deren Größe, also muss noch das a eingebaut werden.

$v_{max}^{2}={\frac {C^{2}}{p\cdot a}}\cdot {\frac {1+e}{1-e}}\qquad v_{min}^{2}={\frac {C^{2}}{p\cdot a}}\cdot {\frac {1-e}{1+e}}$

Wenn keine berechtigten Einwände kommen, werd ich das demnächst im Hauptartikel ändern. --Willi windhauch 10:18, 31. Jan. 2011 (CET)

Orbit

Den Satz

Mit der idealen, ungestörten Keplerbahn kann eine Bestimmung des Radius und der Geschwindigkeit in Bezug zur wahren Anomalie erfolgen. Die Keplerbahnen können in vier Orbitklassen unterteilt werden (siehe Abb.), wobei man in der Regel bei einer idealen Keplerbahn meist von einem elliptischen Orbit spricht.

verstehe ich nicht. Ist damit gemeint, dass man oft nur bei elliptischen Bahnen von "Keplerbahn" spricht? Es kann ja kaum gemeint sein, dass man auch Hyperbelbahnen als elliptisch bezeichnet.

Außerdem: Warum "elliptischer Orbit", "parabolischer Orbit" und "hyperbolischer Orbit", statt einfach "Ellipse", "Parabel", "Hyperbel"? -- Digamma 21:43, 13. Mai 2011 (CEST)

Inverses Kepler-Problem

Kann mal wer die entsprechenden Abschnitte der englischen Version adaptieren? (nicht signierter Beitrag von 92.224.156.188 (Diskussion) 02:05, 14. Mai 2011 (CEST))

Das, was im englischen Artikel "inverse Kepler problem" genannt wird, wird hier doch schon behandelt, unter dem Titel "Berechnung der exzentrischen Anomalie". Ich halte die Bezeichnung im Übrigen für unpassend. Das Keplerproblem ist die Aufgabe zu jedem Zeitpunkt t den Ort anzugeben, und der wesentliche Schritt dabei ist, zu jedem Wert von M den zugehörigen Wert von E anzugeben. Es ist also das eigentliche Kepler-Problem, nicht die Umkehrung. Es wird nur dadurch zur Umkehraufgabe, weil man zunächst das umgekehrte Problem E → M löst. -- Digamma 09:52, 14. Mai 2011 (CEST)

area?

was heißt area? (nicht signierter Beitrag von StefanHuglfing (Diskussion | Beiträge) 22:21, 10. Jan. 2012 (CET))

Steht im Artikel: "mit der Funktion $\operatorname {area} \,ABC,$ die die Fläche des Kreis- bzw. Ellipsensektors ABC berechnet." Das Wort kommt vom Engl. "area"=Fläche. --Boobarkee 22:34, 10. Jan. 2012 (CET)

Mittlere Anomalie

Die Mittlere Anomalie ist der Winkel am Brennpunkt! Kepler hat es selbst so definiert: http://www.rainerstumpe.de/HTML/kepler_ma.html Die Abbildung im Artikel "Kepler-Gleichung" ist falsch. --rast4229Rast4229 21:14, 7. Feb. 2012 (CET)

Der dtv-Atlas Astronomie (1. Auflage 1973; S. 59) gibt Dir recht. --Boobarkee 22:13, 7. Feb. 2012 (CET)

Wenn ich das richtig verstehe, spielt das keine Rolle. --Digamma 22:54, 8. Feb. 2012 (CET)

Wieso? Die mittlere Anomalie im Sinne dieses Artikels hängt linear von der Zeit ab. Die mittlere A. im Sinne des dtv-Atlases (außer im Fall einer Kreisbahn) sicher nicht. Allerdings hat die englische WP einen Kompromiss anzubieten: in en:Mean anomaly wird nicht der Winkel, sondern die überstrichene Fäche als mittlere A. definiert. Die hängt wieder linear von der Zeit ab. --Boobarkee 00:43, 9. Feb. 2012 (CET)

Laut dtv-Atlas: "Die mittlere Anomalie M ist der von der Sonne aus betrachtete Winkel zwischen dem Perihel und dem augeblicklichen Ort eines gedachten, mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um die Sonne laufenden Körpers, wobei die Umlaufzeit gleich der des tatsächlichen Planeten ist." (dtv-Atlas Astronomie, S. 59, Hervorhebung von mir).

Die mittlere Anomalie hängt auch hier linear von der Zeit ab. Genau das ist mit "mittlere" gemeint. Der Unterschied ist: Bei der Betrachtung hier läuft der gedachte Körper um den Mittelpunkt der Ellipse und der Winkel wird am Mittelpunkt der Ellipse gemessen, beim dtv-Atlas läuft der gedachte Körper um die Sonne und der Winkel wird an der Sonne gemessen. Die gesamte Situation wird also einfach nur vom Mittelpunkt der Ellipse in die Sonne verschoben (bzw. umgekehrt). An der Größe des Winkels ändert sich nichts. Er beträgt immer $2\pi {\tfrac {t-t_{0}}{U}}$ wobei U die anomalistische Umlaufdauer ist und $t-t_{0}$ die Zeit seit dem Periheldurchgang. --Digamma 13:19, 10. Feb. 2012 (CET)

@Digamma, dieser Punkt geht klar an Dich. Sorry für meine Unachtsamkeit. Damit ist es wirklich egal, ob man den gedachten Körper nun um den Mittelpunkt der Ellipse oder um einen Brennpunkt rotieren lässt. --Boobarkee 16:10, 10. Feb. 2012 (CET)

Es spielt schon eine Rolle, ob die mittlere und exzentrische Anomalie vom Brennpunkt (Sonne) oder dem fiktiven Ellipsenmittelpunkt aus gerechnet werden. Und zwar spielt es eine Rolle für das astronomische Verständnis von Keplers Denken und und anderseits für die Berechnung der Flächen. M ist anderseits einfach der Winkel, der einer Zeit t entspricht.

Interessanter ist, ob die exzentrische Anomalie von der Sonne aus gerechnet werden kann oder wie Kepler auf die exzentrische Anomalie gekommen ist. Auch in der englischen Version wird die exzentrische Anomalie vom Ellipsenmittelpunkt aus definiert. --Peter. (nicht signierter Beitrag von 84.75.9.8 (Diskussion) 23:55, 20. Jul 2012 (CEST))

OK, aber zunächst geht es hier um eine moderne Darstellung, erst in zweiter Linie um Keplers Verständnis der Sache. Dazu müsste der Artikel um einen Abschnitt zur Geschichte erweitert werden.

Was die exzentrische Anomalie betrifft: Das ist gerade der Parameter t in der üblichen Parameterdarstellung $(x,y)=(a\cos t,b\sin t)$. Ich glaube nicht, dass dieser Winkel vom Brennpunkt aus gerechnet werden kann. Der Winkel tritt ganz natürlich auf, wenn man die Ellipse als gestreckten oder gestauchten Kreis auffasst, vgl. Bild rechts, es ist der Winkel zwischen der Hauptachse und dem roten Strahl. --Digamma (Diskussion) 12:12, 21. Jul. 2012 (CEST)

Die mittlere Anomalie kann "vermutlich" (= ich werde noch nachrechnen) irgendwo auf dem Papier ein Hilfskreis sein. Und vielen Dank für die Erklärung von t. Es ist ein Wunder, dass Kepler draufgekommen ist. --84.75.9.8 13:28, 21. Jul. 2012 (CEST)Peter.

Klarstellung keplersche Gesetze

Der Satz "Für diese Ableitung werden nur die keplerschen Gesetze benötigt." könnte lauten: entweder "Für diese Ableitung wurden nur die Keplerschen Gesetze benötigt. " oder direkt: "Für diese Ableitung wurden nur das 1. und 2. Keplersche Gesetz benötigt." (nicht signierter Beitrag von 84.75.9.8 (Diskussion) 23:55, 20. Jul 2012 (CEST))

Mir erschließt sich nicht, welchen Unterschied es macht, ob hier "werden" oder "wurden" steht. --Digamma (Diskussion) 11:30, 21. Jul. 2012 (CEST)

Erstes braucht es ein grosses K, und zweitens heisst "werden", wenn eine Herleitung anschliessend kommt, es kommt aber nichts mehr. "Diese" deutet sprachlich rückwärts und "werden" deutet sprachlich vorwärts. Man kann auch schreiben: Diese Gleichung ist eine Folge des 1. und 2. Keplerschen Gesetzes. Vielleicht gibt es Herleitungen, die das anders machen, z.B. sphärische Trigonometrie??--Peter.

Der unmittelbar folgende Satz ist beim ersten Lesen (wenn der Sinn des Themas der Kepler-Gleichung noch unklar ist) missverständlich, da in diesem Zeitpunkt nicht klar ist, ob die Kepler-Gleichung oder die Keplerschen Gesetze gemeint sind. Er könnte deshalb ohne Schaden entweder weggelassen werden, oder lauten: "Die Keplerschen Gesetze können, wie Isaac Newton zeigen konnte, aus dem Gravitationsgesetz abgeleitet werden, das Kepler jedoch nicht bekannt war."

Danke. --Peter (nicht signierter Beitrag von 84.75.9.8 (Diskussion) 23:55, 20. Jul 2012 (CEST))

Der Satz beginnt doch mit "Diese Gesetze ..." Ist das wirklich unklar? Warum soll mit "Gesetze" die Kepler-Gleichung gemeint sein? Ich stimme dir aber zu, dass man den Satz an dieser Stelle problemlos streichen kann. Thema sind ja nicht die Keplerschen Gesetze, sondern wie man mit deren Hilfe das Kepler-Problem löst. --Digamma (Diskussion) 11:30, 21. Jul. 2012 (CEST)

Ja das war unklar, und zwar weil die Frage, was die Kepler-Gleichung überhaupt ist, selber eine implizite Gleichung ist. Dass die Kepler-Gleichung nicht eines der drei Keplerschen Gesetze ist, sondern eine vierte Regel, erschliesst sich beim mehrfachen Lesen durchaus.