Direktes Verfahren

Direkte Verfahren sind Methoden zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Die Koeffizienten $a_{ij}$ der Gleichungen

$a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+...\ a_{in}x_{n}=b_{i}\qquad a_{ij}\in \mathbb {R} \wedge b_{i}\in \mathbb {R} ,i,j\in \{1,...,n\}$

werden dabei in einer Matrix $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ und die rechten Seiten $b_{i}$ in einem Vektor $b\in \mathbb {R} ^{n}$ gespeichert. Die Aufgabe besteht nun darin, die Matrix so umzuformen, dass die Gesuchte also $x:=x_{j}\in \mathbb {R} ^{n}$ möglichst einfach auszurechnen ist. Dies ist der Fall, wenn durch diese Operationen A in eine obere Dreiecksmatrix umgeformt worden ist, das heisst alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen (das sind die $a_{ii}$) sind gleich null. Das erreicht man auf verschiedenen Wegen.

Beim Gaußschen Eliminationsverfahren werden dazu A und b mit einer Matrix L mulitpliziert, die folgendermassen aussieht:

$L=l_{ij}=a_{ij}/a_{jj}\qquad falls\quad j\leq i,\quad l_{ij}=0\quad sonst.\quad L\cdot A$ hat dann Diagonalgestalt und die $x_{j}$ können dann von j=n bis j=1 aus $L\cdot Ax=L\cdot b$ rückwärts ausgerechnet werden.

Weitere direkte Verfahren sind das Householderverfahren bei dem die zu multiplizierende Matrix L orthogonal ist, oder das Verfahren durch GIVENS-Drehungen, bei dem die Nullen dadurch erzeugt werden, dass Vektoren in einem zweidimensionalen Unterraum des $\mathbb {R} ^{n}$ gedreht werden, so dass immer eine Komponente Null wird.