Gezeitenkraft

Entstehung der Gezeitenkräfte:
Die unterschiedlich großen Pfeile im oberen Bild zeigen die Gravitationskräfte, die durch einen Himmelskörper, der rechts außerhalb des Bildes steht, auf den kugelförmigen Himmelskörper an zwei besonderen Stellen der Oberfläche und im Schwerpunkt wirken.
Die Pfeile im unteren Bild zeigen an der Oberfläche die Differenzen zur Gravitationskraft im Schwerpunkt: Das sind die Gezeitenkräfte an diesen beiden Stellen der Oberfläche.

Die auf einen ausgedehnten Himmelskörper wirkende Gezeitenkraft ist eine der Gravitationskraft, die von einem anderen Himmelskörper ausgeht, sogenannte nachgeordnete Kraft. Mit nachgeordnet wird betont, dass es sich nicht direkt um die Gravitationskraft handelt, sondern um die Differenz zwischen dieser an einer beliebigen Stelle des betroffenen Himmelskörpers und der in seinem Schwerpunkt wirkenden Gravitationskraft des verursachenden Himmelskörpers. An jenen Oberflächenpunkten des betroffenen Körpers, die dem verursachenden Himmelskörper maximal zugewandt oder abgewandt sind, ist sie am größten und zeigt dort nach außen. Beide Körper umkreisen einander, sie bilden ein Zweikörpersystem.

Die Gezeitenkraft tritt zwischen allen Himmelskörpern auf, hat aber nur bei großen Körpern oder in Gravitationsfeldern mit hoher räumlicher Änderungsrate merkliche Auswirkungen. Zwischen Planeten und ihrem Zentralgestirn und zwischen den Planeten und ihren Monden ist sie unmittelbar beobachtbar (wie an den Gezeiten der Erde). Zwischen Doppelsternen oder zwischen wechselwirkenden Galaxien lässt sie sich theoretisch angeben, wobei hier größere Zeiträume berücksichtigt werden müssen.

Obwohl einschränkend meistens die an der Oberfläche wirkende Kraft als Gezeitenkraft bezeichnet wird, ist diese Kraft überall, auch im Körperinneren, wirksam: Ihre Hauptwirkung ist eine Verzerrung des Himmelskörpers. Wenn der Himmelskörper rotiert, so läuft diese Verzerrung um. Der Körper wird gewalkt, was große Bewegungsenergiemengen in thermische Energie des Körpers umwandelt, also eine Verlustgröße im Bewegungssystem darstellt. Auf diese Weise wurde die Eigenrotation des Erdmondes durch die Gezeitenkraft der Erde gebremst. Er dreht sich heute nur noch so schnell wie er um die Erde läuft (gebundene Rotation, er zeigt der Erde immer dieselbe Seite). Die Koppelung ist jetzt stabil, weil die Gezeitenkraft immer an den gleichen Stellen des Mondes wirkt, er wird nicht mehr gewalkt. Umgekehrt bremst die Gezeitenkraft des Mondes die Eigenrotation der Erde. Die dabei umgewandelte Energie hält den Erdkern heiß. Vor etwa 400 Millionen Jahren drehte sich die Erde noch in nur 22 Stunden um sich selbst, und das Jahr hatte etwa 400 Tage.

Die Gezeitenkraft hat ihren Namen von den als „maritime Gezeiten“ erkennbaren Wirkungen auf die Erde. Für die die periodische Eigenschaft der Gezeiten ist nicht die Gezeitenkraft ursächlich, sondern die Drehung der Erde um die eigene Achse. Hätte die Erde (schon) die an den Mondumlauf gebundene Rotation, wären die vom Mond verursachten Berge und Täler der Meeresoberfläche ortsfest. Es gäbe nicht (mehr) die an den strömungshemmenden Kontinentenrändern entstehenden, mit der Erddrehung resonanten starken Pegelschwankungen mit – im Vergleich zum offenen Meer – stark überhöhter Amplitude. Es verblieben nur die von der Sonne verursachten kleineren Pegelschwankungen.

Entstehung und Größe der Gezeitenbeschleunigung

Anstatt der Gezeitenkraft wird die von ihr abhängige Gezeitenbeschleunigung ermittelt.

Die Betrachtungen lassen sich sowohl mit einem Bezugssystem außerhalb des Himmelskörpers als auch mit dem Himmelskörper selbst als Bezugssystem anstellen. Beide Vorgehensweisen führen zwingend zu gleichen Ergebnissen.

Bezugssystem außerhalb des betrachteten Himmelskörpers

Die Gezeitenbeschleunigung, die eine Masse M maximal auf der Oberfläche eines im Abstand r befindlichen Himmelskörpers (Durchmesser 2R ) verursacht, ist:

(1)     $a_{g}\approx \mp 2R{\frac {GM}{r^{3}}}$.

Herleitung

Die Gravitationsbeschleunigung a eines Körpers in einem äußeren Gravitationsfeld der Masse M ist mit der Gravitationskonstante G und dem Abstand r des Körperschwerpunktes zu M wie folgt gegeben:

(2)     $a_{m}={\frac {GM}{r^{2}}}$

Auf ein auf der Verbindungslinie zwischen Körperschwerpunkt und der Masse, die das Gravitationsfeld erzeugt, und auf der Körperoberfläche liegendes Massenelement wirkt die Beschleunigung

(3)     $a_{r}={\frac {GM}{(r\pm R)^{2}}}$.

Der Punkt mit r+R liegt auf der der Masse abgewandten Seite und ist von ihr am weitesten entfernt. Der Punkt mit r-R liegt auf der ihr zugewandten Seite und ist ihr am nächsten. Die Beschleunigungen dieser beiden Massenelemente sind wie ihre Abstände von der Masse die beiden Extremwerte.

Die Gezeitenbeschleunigung dieser Elemente ist jeweils die Differenz zwischen ihrer Gravitationsbeschleunigung und der Gravitationsbeschleunigung des Körperschwerpunkts:

(4)     $a_{g}={\frac {GM}{(r\pm R)^{2}}}-{\frac {GM}{r^{2}}}={\frac {GM}{r^{2}}}\left({\frac {1}{(1\pm R/r)^{2}}}-1\right)\approx {\frac {GM}{r^{2}}}((1\mp 2R/r)-1)=\mp 2R{\frac {GM}{r^{3}}}$.

Die Näherung folgt aus der Reihenentwicklung um R/r=0 (R<<r) und Abbruch nach dem linearen Glied von

(5)     ${\frac {1}{(1\pm R/r)^{2}}}=1\mp 2R/r+3(R/r)^{2}\dots$.

Die Gezeitenbeschleunigung weist auf beiden Seiten vom Körperschwerpunkt weg. Sie ist aber auf beiden Seiten nicht ganz gleich groß, was in obiger Formel zu erkennen ist, wenn man den Näherungsteil weglässt.

Rechenbeispiel - Gezeitenbeschleunigung auf der Erdoberfläche durch den Erdmond

Für die Gezeitenwirkung des Mondes auf die Erde ist a_g mit

G = 6,67·10^-14 m³/(g s²), die Gravitationskonstante

M = 7,34·10²⁵ g, die Masse des Mondes

r = 3,84·10⁸ m, die mittlere Entfernung des Mondes

R = 6,37·10⁶ m, der mittlere Radius der Erde

$a_{\text{g}}\approx \mp 11\cdot 10^{-7}\,{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$

Wendet man die in obiger Formel enthaltene Näherung nicht an, ergibt die Rechnung:

$a_{\text{r1}}=-10{,}75\cdot 10^{-7}\,{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$         (Mond abgewandte Seite),

$a_{\text{r2}}=+11{,}30\cdot 10^{-7}\,{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$         (Mond zugewandte Seite).

Im Schwerpunkt der Erde ist die vom Mond stammende Gravitationsbeschleunigung

$a_{\text{m}}={\frac {GM}{r^{2}}}=33{,}2\cdot 10^{-6}\,{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$.

Somit ist die Gezeitenbeschleunigung etwa 30 mal kleiner als die Gravitationsbeschleunigung. Die Gezeitenkraft ist eine der Gravitationskraft deutlich nachgeordnete Erscheinung.

Verglichen mit der Erdbeschleunigung (9,81 m/s²) ist die Gezeitenbeschleunigung nur das 10^–7-fache.

Rechenbeispiel - Gezeitenbeschleunigung auf der Erdoberfläche durch die Sonne

Die von der Sonne auf der Erde herrührende Gezeitenbeschleunigung a_g ist mit

M = 1,989·10³³ g , die Masse der Sonne

r = 1,496·10¹¹ m , die mittlere Entfernung der Sonne

$a_{\text{g}}\approx \mp 5{,}05\cdot 10^{-7}\,{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$,

und die Gravitationsbeschleunigung ist

$a_{\text{m}}=5{,}93\cdot 10^{-3}\,{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$.

Die Gezeitenbeschleunigung skaliert mit der dritten Potenz des Abstandes vom Gravitationszentrum und fällt schneller ab als die Gravitationsbeschleunigung, die quadratisch skaliert. Dies führt dazu, dass die Gezeitenbeschleunigung der viel entfernteren Sonne kleiner ist, obwohl sie die 2,7·10⁷-fache Masse und folglich die fast 180-fache Gravitationsbeschleunigung des Mondes hat.

Vergleich der Gezeitenbeschleunigung von Mond und Sonne mit denen einiger Planeten

Je näher ein Planet seinem Zentralgestirn (Gravitationsquelle) kommt, desto mehr wird er in ein Ellipsoid verformt.
Die bogenförmige Markierung ist die Roche-Grenze.

Himmelskörper	Rel. Beschl.	Auslenkung
Mond	1	30 cm
Sonne	0,45	14 cm
Venus in unterer Konjunktion	5·10-5	17 µm
Jupiter	6·10-6	2 µm
Mars in Opposition	2·10-6	0,5 µm
Mars in Konjunktion	1·10-8	3 nm

Die tabellierte Auslenkung ist der Anstieg des Wasserspiegels auf dem offenen Meer. Die allgemeine Wirkung der beidseits vom Körperschwerpunkt wegweisenden Gezeitenbeschleunigung ist die Verformung des Körpers zu einem Ellipsoid (siehe Abbildung).

Betrachteter Himmelskörper als Bezugssystem

Erde und Mond kreisen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt (Baryzentrum), der sich innerhalb der Erde befindet (sonst nicht maßstabsgetreue Illustration)

Die nicht rotierend gedachte Erde kreist um ihren mit dem Mond gemeinsamen Schwerpunkt (Baryzentrum): Alle Orte auf ihr sind der gleichen Zentrifugalkraft (blaue Strecken) unterworfen.

Die quantitative Beschreibung ist bei dieser Betrachtungsweise mit der oben angeführten identisch, denn die in die Betrachtung eingeführte Zentrifugalkraft hat den gleichen Wert wie die dort im Vergleich enthaltene Gravitationskraft, beziehungsweise die Zentrifugalbeschleunigung ist gleich wie die im Schwerpunkt wirkende Gravitationsbeschleunigung $a_{\text{m}}$ . Diese Art der Betrachtung hat einen anschaulichen Vorteil, weil an den betreffenden Oberflächenstellen Bilanzen mit dort lokalisierten Kräften gebildet werden. Das “naive” Verständnis, dass durch Anziehung des Mondes auf der ihm abgewandten Seite kein Kraftüberschuss in Gegenrichtung entstehen könne, wird dadurch nicht strapaziert, denn auf der dem Mond abgewandten Seite ist dessen Anziehung zwar kleiner, sie wird aber von der in Gegenrichtung wirkenden Zentrifugalkraft übertroffen.

Die Gravitationskraft auf den Himmelskörper ist die Radialkraft oder Zentripetalkraft, die seine Bewegung auf einer Kreisbahn (allgemein: auf gekrümmter Bahn) um die die Gravitation ausübende Masse bewirkt (allgemein: um den gemeinsamen Schwerpunkt von Körper und ausübender Masse, das Baryzentrum). Auf dem umlaufenden Himmelskörper wird als reactio zur Zentripetalkraft eine Zentrifugalkraft festgestellt. Beim Kreisen des Himmelskörpers (Abbildung links) um das Baryzentrum entsteht in jedem seiner Punkte eine Zentrifugalkraft von gleichem Betrag (Abbildung rechts: Umlaufen ohne Rotation, auch Revolution genannt). Diese Kraft ist immer von der ausübenden Masse weg gerichtet.

Die Zentrifugalbeschleunigung, die ein auf einem Kreis mit dem Radius r' und mit der Winkelgeschwindigkeit ω umlaufender Massepunkt erfährt, ist:

(6)     $a_{z}=r'\cdot \omega ^{2}$ .

Für die an den betreffenden Oberflächenstellen mit dort lokalisierten Kräften gebildeten Bilanzen wird die in Gleichung (4) enthaltene Gleichung (2) durch Gleichung (6) ersetzt. Es entsteht:

(7)     $a_{g}={\frac {GM}{(r\pm R)^{2}}}-r'\cdot \omega ^{2}$.

Kontrollrechnung - Gezeitenbeschleunigung auf der Erdoberfläche durch den Erdmond

Zu kontrollieren ist lediglich die Übereinstimmung der Werte für die Zentrifugalbeschleunigung (Himmelskörper als Bezugssystem) mit der Gravitationsbeschleunigung (Bezugssystem außerhalb des betrachteten Himmelskörpers, siehe oben):

Gravitationsbeschleunigung         $a_{\text{m}}={\frac {GM}{r^{2}}}=33{,}2\cdot 10^{-6}\,{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$   (siehe oben) ,

Zentrifugalbeschleunigung           $a_{z}=r'\cdot \omega ^{2}=33{,}2\cdot 10^{-6}\,{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ .

r' = 4,683·10⁶ m, der mittlere Radius der Revolutions-Bahn der Erde,

ω = 2,662·10^-6·1/s, die Winkelgeschwindigkeit der Revolution (siderischer Monat = 27,32 Tage).

Roche-Grenze

Hauptartikel: Roche-Grenze

Ist der Abstand eines Trabanten zu seinem Zentralkörper sehr gering, so werden die Gezeitenkräfte sehr stark.

Um die Stabilität eines Körpers zu untersuchen, betrachtet man die Gezeitenkräfte im Vergleich zu den Gravitationskräften, die den Körper selbst zusammenhalten. Die Stabilitätsgrenze ist hierbei erreicht, wenn die Gezeitenkräfte größer werden als die Gravitationskräfte, wobei man zur Abschätzung den Trabanten in zwei Teilkörper unterteilt, mit jeweils der halben Trabantenmasse $M_{t}/2$ in einem Abstand, der seinem Radius $R_{t}$ entspricht:

$G{\frac {M_{t}^{2}}{4R_{t}^{2}}}\geq cG{\frac {MM_{t}}{r^{3}}}\cdot R_{t}$,

mit dem Abstand r von der Zentralmasse $M$, c ist hierbei eine Konstante von der Größenordnung 1. Mit den mittleren Dichten ρ und ρ_t des Zentralkörpers und des Trabanten, sowie dem Radius R des Zentralkörpers erhält man

${\frac {r}{R}}\geq (4c)^{1/3}\left({\frac {\rho }{\rho _{t}}}\right)^{1/3}$.

Eine genauere Rechnung ergibt

${\frac {r}{R}}\geq 2{,}44\left({\frac {\rho }{\rho _{t}}}\right)^{1/3}$.

Bei einem Abstand von weniger als dem 2,44-fachen des Radius seines Zentralkörpers wird ein Trabant mit gleicher Dichte durch die Gezeitenkräfte auseinander gerissen bzw. kann sich gar nicht erst bilden. Dieser Abstand wird nach Édouard Albert Roche, der diese Abschätzung erstmals durchgeführt hat, Roche-Grenze genannt.

Diese Überlegungen gelten für größere Körper, die durch ihre eigene Schwerkraft zusammengehalten werden (siehe Zwergplanet). Bei kleineren Körpern überwiegt die Stabilität durch Kohäsionskräfte. Bei künstlichen Satelliten spielt der Zusammenhalt durch die eigene Gravitation überhaupt keine Rolle.

Kosmische Beispiele

Die Saturnringe liegen zum großen Teil innerhalb der Roche-Grenze des Saturn. Dies ist neben den Hirtenmonden, deren Stabilität durch innere Kohäsionskräfte erhöht wird, der Hauptgrund für die Stabilität des Ringsystems.

Komet Shoemaker-Levy 9

Der Komet Shoemaker-Levy 9 passierte im Juli 1992 den Planeten Jupiter und zerbrach dabei in 21 Fragmente zwischen 50 und 1000 m Größe, die sich auf einer mehrere Millionen Kilometer langen Kette aufreihten. Zwischen dem 16. und dem 22. Juli 1994 schlugen diese Bruchstücke dann auf Jupiter auf.

Bei engen Begegnungen von Sternen mit einem Abstand, der geringer ist als die Roche-Grenze, werden diese in einer so genannten Sternkollision stark verändert, meist wird der kleinere zerrissen.

Auf der Erde führen die Gezeiten in den Meeren zu Ebbe und Flut. Die Gezeiten wirken jedoch auch auf den Erdmantel selbst, so dass auch die Kontinente selbst den Gezeiten mit einer Verzögerung von zwei Stunden folgen, allerdings ist der Effekt mit Vertikalbewegungen von 20 bis 30 Zentimeter deutlich geringer als die mehrere Meter hohen Tiden der Meere.

Durch die Gezeiten in großen Meeren können durch den Tidenhub lokal sehr starke Strömungen entstehen. Die dabei vorhandene kinetische Energie kann mittels eines Gezeitenkraftwerks genutzt werden.

Gezeitenreibung

Die Gezeitenkräfte bremsen die Rotation der beteiligten Körper, dabei wird der Rotations-Drehimpuls aufgrund der Drehimpulserhaltung auf den Bahndrehimpuls übertragen. Der Mechanismus dazu ist folgender: Durch die Gezeitenkräfte kommt es zu einer Verformung der Körper. Auch hier ist zu beachten, dass die Gezeitenreibung primär als innere mechanische Spannung im Körper auftritt, die Oberflächenreibung (etwa durch Flut-Ebbe-Wellen auf der Erde) bleibt dazu vergleichsweise vernachlässigbar (im Verhältnis Ozean-Wassermasse zu gesamter Erdmasse).

Die folgenden Ausführungen beschreiben ein Planet-Mond-System, gelten aber für alle Zweikörperprobleme analog:

Wenn der Planet schneller rotiert als der Mond umläuft, bewegen sich diese Gezeitenberge immer „vor“ dem Mond. Das ist eine Folge der Trägheit der Massen auf dem Zentralkörper (im allgemeinen Sinn, nicht nur Massenträgheit im Sinne von Impulserhaltung). Diese vorlaufenden Gezeitenberge verursachen eine Komponente in der Gravitationskraft, die auf den Mond in Vorwärtsrichtung einwirkt („vorwärts“ im Sinne des Mondumlaufs). Die so zugeführte Energie wird sofort in potenzielle Energie umgesetzt, wodurch der Mond langsam aber sicher eine höhere und langsamere Umlaufbahn einnimmt.

Eine Gezeitenreibung tritt umgekehrt auch auf dem umlaufenden Mond ein.

Dieser Effekt führt schließlich zu einer gebundenen Rotation des kleineren Körpers, wie es z. B. beim Erdmond der Fall ist. Kommt es bei beiden Körpern zu einer gebundenen Rotation, so spricht man von Korotation.

Als weiterer Effekt vergrößert sich, wenn Bahndrehimpuls und Rotation die gleiche Richtung besitzen, der Abstand der beiden Körper, wenn die Rotation des größeren Körpers schneller als der Umlauf des kleineren Körpers ist. Sind Bahndrehimpuls und Rotation entgegengerichtet, was vor allem bei eingefangenen Körpern auftreten kann, oder umrundet der kleinere Körper den größeren schneller als dieser rotiert, wird der Abstand hingegen verringert.

In einer genaueren Analyse müssen Energie und Drehimpuls in diesem Prozess separat bilanziert werden, da es für beide Größen in der Physik jeweils einen Erhaltungssatz gibt. Die folgenden Erläuterungen gehen zwecks besserer Verständlichkeit von einem isolierten Planet-Mond-System aus. Das ist kein vollständiges Modell, da es andere Planeten, die Sonne (Zentralstern) und andere äußere Einflüsse geben kann, die dieses System stören würden (siehe auch Störungstheorie (Klassische Physik)).

Energieerhaltung: Der Planet verliert Rotationsenergie durch Reibung bei der kontinuierlichen Bildung der Gezeitenberge (Verformung des Planeten aufgrund der Gezeitenkraft), und durch die Übertragung von Energie auf den Mond infolge der Gravitationswirkung der Gezeitenberge. Diese Energie findet sich in der Rotationsenergie des Mondes, einer Erwärmung (Wärmeenergie) der Erde durch Reibung, den Strömungen im Erdinneren (kinetische Energie, Geodynamo) und den durch einen MHD-Prozess ausgelösten Veränderungen im Magnetfeld der Erde wieder.

Drehimpulserhaltung: Der Drehimpulsverlust bei der Abbremsung der Erdrotation wird auf den Drehimpuls des Mondes in seinem Orbit um die Erde (Bahndrehimpuls), auf den Drehimpuls von Strömungen im Erdinneren, und auf das Erdmagnetfeld (elektromagnetisches Feld) der Erde übertragen.

Welche dieser Energie- oder Drehimpulsformen für ein bestimmtes Planet-Mond-System von Bedeutung sind, hängt von den Umständen ab. Da es sich allgemein um Prozesse aus dem Gebiet der Magnetohydrodynamik unter dem Einfluss der Gravitation handelt, ist die Aufgabenstellung in der Regel nicht trivial.

Für exotische Konstellationen muss eventuell berücksichtigt werden, dass auch Elementarteilchen Energie und Drehimpuls tragen können (Teilchenstrahlung).

Auswirkungen, zusammengefasst

• Die Gezeitenkräfte auf die Erde führen zu den maritimen Gezeiten, woher ihr Name stammt. Der nahezu starre Erdkörper bleibt dabei weitestgehend unbeeinflusst, dagegen ist die Auswirkung auf das beweglichere Wasser an seiner Oberfläche deutlich.
• Durch Gezeitenkräfte verformen sich Himmelskörper, sie werden leicht in Richtung des anderen Körpers in die Länge gezogen. Rotiert der Himmelskörper, so wird er dabei „durchgewalkt“, ähnlich wie ein platter Reifen am Auto. Dadurch wird Rotationsenergie in Wärme umgewandelt; die Rotation verlangsamt sich dadurch so lange, bis sich eine gebundene Rotation einstellt. Der Erdmond weist der Erde aufgrund dieses Effektes immer die gleiche Seite zu. Beim Jupitermond Io sind es Gezeitenkräfte, die die Wärmeenergie für den Vulkanismus bereitstellen.
• In Doppelsternsystemen können Gezeitenkräfte einen Materiefluss von einem Stern zum anderen verursachen, was in bestimmten Fällen zu einer Supernova (Typ 1) führen kann.
• Sind die Gezeitenkräfte stärker als die Kräfte, die ein Objekt zusammenhalten, so können sie auch zum Zerreißen des Objekts führen, so geschehen beim Kometen Shoemaker-Levy  9 (siehe Roche-Grenze).

Weblinks

• Die Gezeiten
• N. Gasch: Rhythmen des Mondes – Geologische Zeugnisse aus alter Zeit
• www.nordwestreisemagazin.de/ebbeflut.htm Die Gezeiten an der Nordseeküste
• Gezeiten-Simulation