Splitting-Verfahren

Iterative Löser sind Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Im Unterschied zu direkten Verfahren nähert man sich dabei ausgehend von einer Startnäherung schrittweise der gesuchten Lösung an und bricht ab, falls die Genauigkeit hoch genug ist.

Sei $A\in \Re ^{n\times n}$ und $b\in \Re ^{n}$ weiterhin sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle x_0\in\Re^n} eine beliebige Startnäherung, dann berechnet ein allgemeiner Iterativer Löser im k-ten Schritt aus $x_{k-1}$ die nächste Iterierte $x_{k}$ nach dem folgenden Muster:

$x_{k}=x_{k-1}+{\tau }{\cdot }C_{k}^{-1}{\cdot }r$ wobei $r=b-Ax$ das Residuum ist, $C_{k}$ ist eine Matrix die je nach Verfahren unterschiedlich ist und möglicherweise vom Iterationsschritt abhängt, und $\tau$ ist ein Regularisierungsparameter der vom konkreten Problem und vom Verfahren abhängt.

Ein paar Verfahren sind:

Jacobi: $C_{k}=C=diag(A)$ ist die Diagonale von A und $\tau =1$. Richardson: $C_{k}=C=I$ die n-dimensional Einheitsmatrix. Gauss-Seidel: $C_{k}=C=D+L$ die untere linke Dreiecksmatrix + Diagonale $\tau =1$.

weitere sind SOR, SSOR und CG.