Adicia funkcio
Malsamaj difinoj ekzistas depende de la specifa kampo de apliko. Tradicie, adicia funkcio estas funkcio kiu konfitas la adician operacion:
- f(x+y) = f(x) + f(y)
por ĉiu du eroj x kaj y en la domajno.
En nombroteorio, adicia funkcio estas aritmetika funkcio f(n) de la pozitiva entjero n tia ke por ĉiuj reciproke primaj a kaj b, la funkcio de la produto estas la sumo de la funkcioj:
- f(ab) = f(a) + f(b) .
Ekster nombroteorio, la termino adicia povas ankaŭ esti uzita por ĉiuj funkcioj kun la propraĵo f(ab) = f(a) + f(b) por ĉiuj argumentoj a kaj b.
La resto de ĉi tiuj artikolo diskutas nombro-teoriajn adiciajn funkciojn, uzante la duan difinon. Por specifa okazo de la unua difino vidu en adicia polinomo. Noto ankaŭ ke ĉiu homomorfio f inter komutaj grupoj estas adicia laŭ la unua difino.
Plene adiciaAdicia
[redakti | redakti fonton]Adicia funkcio f(n) estas plene adicia se f(ab) = f(a) + f(b) veras por ĉiuj pozitivaj entjeroj a kaj b, eĉ se ili estas ne reciproke primaj.
Ĉiu plene adicia funkcio estas adicia, sed ne nepre male.
Ekzemploj
[redakti | redakti fonton]Plene adiciaj
[redakti | redakti fonton]- La limigo de la logaritma funkcio al N, a0(n) - la sumo de primoj dividantaj na n, iam skribata kiel sopfr(n). a0(20) = a0(22 · 5) = 2 + 2 + 5 = 9.
- a0(4) = 4
- a0(27) = 9
- a0(144) = a0(24 · 32) = a0(24) + a0(32) = 8 + 6 = 14
- a0(2000) = a0(24 · 53) = a0(24) + a0(53) = 8 + 15 = 23
- a0(2003) = 2003
- a0(54032858972279) = 1240658
- a0(54032858972302) = 1780417
- a0(20802650704327415) = 1240681
- ...
- La funkcio Ω(n), la entuta kvanto de primaj faktoroj de n, kalkule oblajn faktoroj multaj oblfoje. Ĝi estas ofte nomata kiel "granda omega funkcio". Ĉi tio implicas Ω(1) = 0 ĉar 1 ne havas primajn faktorojn.
- Ω(4) = 2
- Ω(27) = 3
- Ω(144) = Ω(24 · 32) = Ω(24) + Ω(32) = 4 + 2 = 6
- Ω(2000) = Ω(24 · 53) = Ω(24) + Ω(53) = 4 + 3 = 7
- Ω(2001) = 3
- Ω(2002) = 4
- Ω(2003) = 1
- Ω(54032858972279) = 3
- Ω(54032858972302) = 6
- Ω(20802650704327415) = 7
- ...
Adiciaj sed ne plene adiciaj
[redakti | redakti fonton]- a1(n) - la sumo de diversaj primoj dividantaj na n, iam skribata kiel sopf(n). a1(1) = 0, a1(20) = 2 + 5 = 7.
- a1(4) = 2
- a1(27) = 3
- a1(144) = a1(24 · 32) = a1(24) + a1(32) = 2 + 3 = 5
- a1(2000) = a1(24 · 53) = a1(24) + a1(53) = 2 + 5 = 7
- a1(2001) = 55
- a1(2002) = 33
- a1(2003) = 2003
- a1(54032858972279) = 1238665
- a1(54032858972302) = 1780410
- a1(20802650704327415) = 1238677
- ...
- La funkcio ω(n), la entuta kvanto de malsamaj primaj faktoroj de n.
- ω(4) = 1
- ω(27) = 1
- ω(144) = ω(24 · 32) = ω(24) + ω(32) = 1 + 1 = 2
- ω(2000) = ω(24 · 53) = ω(24) + ω(53) = 1 + 1 = 2
- ω(2001) = 3
- ω(2002) = 4
- ω(2003) = 1
- ω(54032858972279) = 3
- ω(54032858972302) = 5
- ω(20802650704327415) = 5
- ...
Multiplikaj funkcioj
[redakti | redakti fonton]De ĉiu adicia funkcio f(n) facilas krei rilatantan multiplika funkcio g(n) kio estas kun la propraĵo, ke por ĉiuj reciproke primaj a kaj b :
- g(ab) = g(a) × g(b) ,
- g(n) = w(f(n)-f(1)) .
- kie w estas pozitiva reela nombro.
Eksteraj ligiloj
[redakti | redakti fonton]- SIDN A001414 sopfr(n)
- SIDN A008472 sopf(n)
- SIDN A001222 granda omega funkcio Ω(n)
- SIDN A001221 ω(n)