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Diferencia entre revisiones de «Complemento de un conjunto»

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[[Archivo:PolygonsSetComplement.svg|thumb|El complemento de un conjunto {{math|''A''}} es otro conjunto {{math|''A''<sup>{{unicode|}}</sup>}} que contiene todos losgiles son tod05 UWU elementos (dentro del universo {{math|''U''}}) que no están en {{math|''A''}}.]]
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El '''complemento de un conjunto''' o '''conjunto complementario''' es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el [[conjunto universal]]. Por ejemplo, si se habla de [[números naturales]], el complementario del conjunto de los [[números primos]] {{math|'''P'''}} es el conjunto de los números no primos {{math|''C''}}, que está formado por los [[números compuestos]] y el [[uno|1]]:
El '''complemento de un conjunto''' o '''conjunto complementario''' es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el [[conjunto universal]]. Por ejemplo, si se habla de [[números naturales]], el complementario del conjunto de los [[números primos]] {{math|'''P'''}} es el conjunto de los números no primos {{math|''C''}}, que está formado por los [[números compuestos]] y el [[uno|1]]:


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:<math>C = \{ 1, 4, 6, 8, 9, \ldots \}</math>
:<math>C = \{ 1, 4, 6, 8, 9, \ldots \}</math>


A su vez, el conjunto {{math|''C''}} es el complementario de {{math|'''P'''}}. El conjunto complementario se denota por una barra horizontal o por el [[superíndice]] «{{math|{{unicode|∁}}}}», por lo que se tiene: {{math|1='''P'''<sup>{{unicode|∁}}</sup> = ''C''}}, y también {{math|1={{sobrerrayado|''C''}} = '''P'''}}.
A su vez, el conjunto {{math|''P''}} es el complementario de {{math|''C''}}. El conjunto complementario se denota por una barra horizontal o por el [[superíndice]] «{{math|{{unicode|∁}}}}», por lo que se tiene: {{math|1='''P'''<sup>{{unicode|∁}}</sup> = ''C''}}, y también {{math|1={{sobrerrayado|''C''}} = '''P'''}}.


El conjunto complementario de {{math|''A''}} es la [[conjunto diferencia|diferencia]] (o '''complementario relativo''') entre el conjunto universal y {{math|''A''}}, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.
El conjunto complementario de {{math|''A''}} es la [[conjunto diferencia|diferencia]] (o '''complementario relativo''') entre el conjunto universal y {{math|''A''}}, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.


== Definición ==
== Definición ==
[[Archivo:SetComplement.svg|thumb|Complementario de un [[conjunto]] {{math|''A''}}.]]
[[Archivo:COMPLEMENTO ejemplo.svg|miniaturadeimagen|Complementario de un [[conjunto]] {{math|''A''}}.]]
Dado un conjunto {{math|''A''}}, su complementario es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a {{math|''A''}}:
Dado un conjunto {{math|''A''}}, su complementario es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a {{math|''A''}}:
{{definición|1=El '''complementario''' de {{math|''A''}} es otro conjunto {{math|''A''<sup>{{unicode|∁}}</sup>}} cuyos elementos son todos aquellos que no están en {{math|''A''}}:
{{definición|1=El '''complementario''' de {{math|''A''}} es otro conjunto {{math|''A''<sup>{{unicode|∁}}</sup>}} cuyos elementos son todos aquellos que no están en {{math|''A''}}:
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Existen también unas relaciones entre las operaciones de [[unión de conjuntos|unión]] e [[intersección de conjuntos|intersección]] a través del complemento:
En también unas relaciones entre las operaciones de [[unión de conjuntos|unión]] e [[intersección de conjuntos|intersección]] a través del complemento:
{{teorema|título=[[Leyes de De Morgan]]|1=*El complementario de la unión de dos conjuntos es la intersección de los complementarios:
{{teorema|título=[[Leyes de De Morgan]]|1=*El complementario de la unión de dos conjuntos es la intersección de los complementarios:
:<math>(A \cup B)^\complement = A^\complement \cap B^\complement</math>
:<math>(A \cup B)^\complement = A^\complement \cap B^\complement</math>
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:<math>(A \cap B)^\complement = A^\complement \cup B^\complement</math>
:<math>(A \cap B)^\complement = A^\complement \cup B^\complement</math>
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== Relación Complementaria ==
Una [[Relación binaria]] ''R'' se define como un subconjunto de un [[producto cartesiano]] ''X'' × ''Y''. La '''relación complementaria''' <math>\bar{R}</math> es el complemento del conjunto ''R'' en ''X'' × ''Y''. El complemento de la relación ''R'' puede ser escrito como
:<math>\bar{R} \ = \ (X \times Y) \setminus R .</math>
Aquí, ''R'' es a menudo visto como una [[Matriz_booleana | matriz lógica]] con las filas representado los elementos de ''X'', y las columnas los elementos de ''Y''. La verdad de '' aRb '' corresponde a 1 en la fila '' a '', columna '' b ''. Produciendo la relación complementaria de "R" que corresponde a cambiar todos los 1 a 0 y los 0 a 1 para la matriz lógica del complemento.

Junto con la [[composición de relaciones]] y la [[relación inversa]] , las relaciones complementarias y el [[álgebra de conjuntos]] son la [[operación matemática | operación]] elemental de la [[lógica algebraica]]


== Véase también ==
== Véase también ==
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* [[Conjunto]]
* [[Conjunto]]
* [[Teoría de conjuntos]]
* [[Teoría de conjuntos]]
* [[Diferencia de conjuntos]]
* [[Unión de conjuntos]]
* [[Diferencia simétrica]]


== Referencias ==
== Referencias ==

{{Traducido ref|en|Complementary relation|trad=parcial|fecha=14 de abril de 2021}}

{{Control de autoridades}}
*{{cita libro|apellidos=Lipschutz|nombre=Seymour|título=Teoría de conjuntos y temas afines|año=1991|editorial=McGraw-Hill|isbn=968-422-926-7}}[[Categoría:Teoría de conjuntos]]
*{{cita libro|apellidos=Lipschutz|nombre=Seymour|título=Teoría de conjuntos y temas afines|año=1991|editorial=McGraw-Hill|isbn=968-422-926-7}}[[Categoría:Teoría de conjuntos]]

Revisión actual - 21:38 6 feb 2024

El complementario de un conjunto A es otro conjunto A que contiene todos los elementos (dentro del universo U) que no están en A.

El complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del conjunto de los números primos P es el conjunto de los números no primos C, que está formado por los números compuestos y el 1:

A su vez, el conjunto P es el complementario de C. El conjunto complementario se denota por una barra horizontal o por el superíndice «», por lo que se tiene: P = C, y también C = P.

El conjunto complementario de A es la diferencia (o complementario relativo) entre el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.

Definición

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Complementario de un conjunto A.

Dado un conjunto A, su complementario es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A:

El complementario de A es otro conjunto A cuyos elementos son todos aquellos que no están en A:

Esta definición presupone que se ha especificado un conjunto universal U, pues de otro modo, en la afirmación «todos los x que no están en A», la palabra «todos» es ambigua. Si se menciona explícitamente el conjunto universal U, entonces el complementario de A es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A, por lo que la relación con la diferencia es clara:

Por otro lado, considerando un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos puede expresarse utilizando la noción de complementariedad:

Ejemplo.

  • El complementario del conjunto de todos los hombres es el conjunto de todas las mujeres (hablando de personas).
  • Hablando de números naturales, el complementario del conjunto {1, 5, 6, 7, 8, 10} es el conjunto {2, 3, 4, 9, 11, 12, ...}.
  • El complementario del conjunto A en la imagen es la zona sombreada de azul (el conjunto universal U es toda el área del rectángulo).

Propiedades

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Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:

Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la negación en lógica, la primera posee propiedades similares a la segunda:

  • La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto universal:
  • Un conjunto y su complementario son disjuntos:
  • El complementario de A está contenido en el complementario de cualquier subconjunto de A:

En también unas relaciones entre las operaciones de unión e intersección a través del complemento:

Leyes de De Morgan

  • El complementario de la unión de dos conjuntos es la intersección de los complementarios:
  • El complementario de la intersección de dos conjuntos es la unión de los complementarios:

Relación Complementaria

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Una Relación binaria R se define como un subconjunto de un producto cartesiano X × Y. La relación complementaria es el complemento del conjunto R en X × Y. El complemento de la relación R puede ser escrito como

Aquí, R es a menudo visto como una matriz lógica con las filas representado los elementos de X, y las columnas los elementos de Y. La verdad de aRb corresponde a 1 en la fila a , columna b . Produciendo la relación complementaria de "R" que corresponde a cambiar todos los 1 a 0 y los 0 a 1 para la matriz lógica del complemento.

Junto con la composición de relaciones y la relación inversa , las relaciones complementarias y el álgebra de conjuntos son la operación elemental de la lógica algebraica

Véase también

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Referencias

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  • Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.