Kootangensfunktsioon

Täisnurkne kolmnurk

Kootangensfunktsioon (sümbol cot) on trigonomeetriline funktsioon.

Kootangensfunktsiooni väärtus on kootangens. Kõnekeeles nimetatakse kootangensiks ka kootangensfunktsiooni.

Kootangensfunktsiooni graafikut nimetatakse kootangensoidiks.

Täisnurkse kolmnurga järgi defineeritakse kootangens nii: täisnurkse kolmnurga mittetäisnurkse nurga α kootangensiks nimetatakse selle nurga lähiskaateti b ja vastaskaateti a pikkuse jagatist:

$\cot \alpha ={\frac {b}{a}}$

Seos teiste trigonomeetriliste funktsioonidega

Kootangensfunktsioon on siinus- ja koosinusfunktsiooniga seotud järgmiselt:

$\cot \theta \equiv {\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\,$

kusjuures viimast seost kasutatakse tihti kootangensfunktsiooni defineerimiseks.

Kootangens- ja tangensfunktsiooni väärtus on teineteise pöördväärtused:

$\cot \theta \equiv {\frac {1}{\tan \theta }}.$

Omadused

Määramis- ja muutumispiirkond

Kuna kootangensfunktsioon on vastavalt definitsioonile koosinus- ja siinusfunktsiooni jagatis, siis kootangensfunktsioon ei ole määratud punktides, kus siinusfunktsiooni väärtus võrdub nulliga. Seetõttu on kootangensfunktsiooni määramispiirkonnaks kogu reaalarvude hulk, välja arvatud punktid

$k\pi ,k\in \mathbb {Z}$.

Kootangensfunktsiooni muutumispiirkonnaks on reaalarvude hulk.

Nendele punktidele, kus kootangensfunktsioon ei ole määratud, vastavad asümptoodid. Nende koordinaadid on x = kπ, kus k ∈ Z. Argumendi liginedes asümptoodile vasakult liginevad kootangensi väärtused plusslõpmatusele ja argumendi liginendes asümptoodile paremalt liginevad kootangensi väärtused miinuslõpmatusele.

Sümmeetriad

Kootangens on paaritu funktsioon:

$\cot(-x)=-\cot x.\,$.

Kootangensfunktsioon on perioodiline funktsioon, mille periood on $\pi$:

$\cot(x+\pi )=\cot(x)\,$.

Nullkohad

Kootangensfunktsiooni nullkohad on

$x=\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \ ;\quad n\in \mathbb {Z}$

Kõik nullkohad on esimest järku.

Monotoonsus ja käänupunktid

Kootangensfunktsioon on igas oma määramispiirkonna punktis monotoonselt kahanev.

Kootangensfunktsioon on kumer nendes punktides, kus tema väärtus on negatiivne, ja nõgus punktides, kus tema väärtus on positiivne. Tema nullpunktid on ühtlasi käänupunktid.

Kootangensfunktsiooni graafik on kumer piirkondades

$\left[(2k-1){\frac {\pi }{2}};k\pi \right[,\quad k\in \mathbb {Z}$

ja nõgus piirkondades

$\left]k\pi ;(2k+1){\frac {\pi }{2}}\right],\quad k\in \mathbb {Z}$

Poolused

Kootangensfunktsiooni poolused on

$x=n\cdot \pi \ ;\quad n\in \mathbb {Z}$.

Kõik poolused on esimest järku.

Vaata ka

• Arkuskootangens
• Hüperboolne kootangens