Sekanttimenetelmä

Sekanttimenetelmä on numeerisen analyysin algoritmi funktion nollakohdan löytämiseksi. Menetelmässä käytetään käyrän sekantteja uuden, edellistä tarkemman likiarvon löytämiseksi juurelle.

Menetelmän kuvaus

Sekanttimenetelmän kaksi ensimmäistä iteraatiota. Punainen käyrä on funktio f ja siniset suorat ovat sekantteja.

Sekanttimenetelmä on määritelty rekursiokaavalla

x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}}f(x_{n}).

Kuten kaavasta havaitaan, sekanttimenetelmä edellyttää kahta alkuarvoa, x₀ ja x₁, jotka tulisi valita mahdollisimman läheltä etsittävää nollakohtaa.

Menetelmän johtaminen

Valitaan x_n−1 ja x_n. Muodostetaan suora pisteiden (x_n−1, f(x_n−1)) ja (x_n, f(x_n)) kautta oikealla olevan kuvan mukaisesti. Sekantin yhtälö voidaan määrittää seuraavasti:

y-f(x_{n})={\frac {f(x_{n})-f(x_{n-1})}{x_{n}-x_{n-1}}}(x-x_{n}).

Seuraavaksi valitaan x_n+1 siten, että se on kyseisen sekantin nollakohta eli

f(x_{n})+{\frac {f(x_{n})-f(x_{n-1})}{x_{n}-x_{n-1}}}(x_{n+1}-x_{n})=0.

Tämän yhtälön ratkaisuna saadaan sekanttimenetelmän rekursiokaava.

Suppeneminen

Yleensä sekanttimenetelmän iteraatiot suppenevat kohti funktion f nollakohtaa, jos alkuarvot x₀ ja x₁ on valittu suhteellisen läheltä juurta. Suppenemisnopeus on φ, missä

\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}618

on kultaisen leikkauksen suhde. Suppenemisnopeus ylittää siis lineaarisen suppenemisnopeuden.

Tämä pätee kuitenkin vain tietyillä ehdoilla. Funktion f on oltava juuressa kahdesti derivoituva ja kyseinen juuri ei saa olla moninkertainen.

Jos alkuarvot eivät ole juuren läheisyydessä, sekanttimenetelmä ei välttämättä suppene.

Vertailua muihin menetelmiin

Regula falsi -menetelmä toimii samalla kaavalla kuin sekanttimenetelmä. Se ei kuitenkaan sovella kaavaa arvoihin x_n−1 ja x_n, vaan arvoon x_n ja viimeisimpään sellaiseen iteraatioon x_k, jolle f(x_k) ja f(x_n) ovat erimerkkiset. Tämä takaa, että regula falsi -menetelmä suppenee aina, kunhan alkuarvot on valittu siten että vastaavat funktion arvot ovat erimerkkiset.

Sekanttimenetelmän rekursiokaava voidaan johtaa Newtonin menetelmästä

x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}

käyttämällä approksimaatiota

f'(x_{n})\approx {\frac {f(x_{n})-f(x_{n-1})}{x_{n}-x_{n-1}}}.

Kun verrataan Newtonin menetelmää ja sekanttimenetelmää, Newtonin menetelmä suppenee nopeammin: sen suppenemisnopeus on verrannollinen toiseen potenssiin, kun taas sekanttimenetelmän arvoon φ ≈ 1.6. Newtonin menetelmä vaatii kuitenkin funktion derivointia samoin kuin sekä funktion että sen derivaatan arvon laskemista joka iteraatiolla. Siksi sekanttimenetelmä voi olla käytännössä nopeampi joissakin tapauksessa. Jos esimerkiksi oletamme, että funktion ja sen derivaatan arvojen laskeminen vaatii joka iteraatiolla yhtä paljon aikaa muiden aikatekijöiden ollessa samoja, sekanttimenetelmällä voidaan laskea kaksi iteraatiota samassa ajassa kuin Newtonin menetelmällä, jolloin sekanttimenetelmä on nopeampi.

Esimerkki

Etsi yhtälön cos(x) = x³ positiivinen ratkaisu. Muutetaan tehtävä funktion f(x) = cos(x) − x³ nollakohdan löytämiseksi. Valitaan x₀ = 0 ja x₁ = 1. Tällöin