Kahden potenssit

Matematiikassa kahden potenssi on mikä tahansa ei-negatiivinen kokonaisluku, joka saadaan korottamalla luku kaksi johonkin kokonaisluvulla ilmaistuun potenssiin, toisin sanoen luku kaksi kerrottuna itsellään tietty määrä kertoja. Myös luku 1 on kahden potenssi, sillä se saadaan korottamalla kaksi potenssiin nolla. Binäärijärjestelmässä kahden potenssit ovat aina muotoa 1000…0, samoin kuin kymmenen potenssit kymmenjärjestelmässä. Kahden potensseilla on keskeinen asema tietotekniikassa mutta myös useissa puhtaasti matemaattisissa yhteyksissä. Lisäksi niiden käänteisluvuilla on huomattava merkitys nuottikirjoituksessa.

Ensimmäiset 36 kahden potenssia

21 =	2		213 =	8 192		225 =	33 554 432
22 =	4		214 =	16 384		226 =	67 108 864
23 =	8		215 =	32 768		227 =	134 217 728
24 =	16		216 =	65 536		228 =	268 435 456
25 =	32		217 =	131 072		229 =	536 870 912
26 =	64		218 =	262 144		230 =	1 073 741 824
27 =	128		219 =	524 288		231 =	2 147 483 648
28 =	256		220 =	1 048 576		232 =	4 294 967 296
29 =	512		221 =	2 097 152		233 =	8 589 934 592
210 =	1 024		222 =	4 194 304		234 =	17 179 869 184
211 =	2 048		223 =	8 388 608		235 =	34 359 738 368
212 =	4 096		224 =	16 777 216		236 =	68 719 476 736

Matemaattisia ominaisuuksia

Pascalin kolmiossa kullakin rivillä olevien lukujen summa on kahden potenssi.

Jokaisella äärellisellä joukolla, jossa on n alkiota, on 2ⁿ osajoukkoa, alkuperäinen joukko ja tyhjä joukko mukaan luettuina. Näiden osajoukkojen muodostamaa joukkoperhettä sanotaan alkuperäisen joukon potenssijoukoksi.

n-ulotteisessa hyperkuutiossa on 2ⁿ särmää.

Kahden potenssit ovat ainoat tunnetut lähes täydelliset luvut, toisin sanoen niiden lukujen summa, joilla ne ovat jaolliset, on yhtä pienempi kuin kyseinen luku. Ei tiedetä, onko niiden lisäksi olemassa muitakin lähes täydellisiä lukuja.

Kahden potenssien käänteisluvut muodostavat geometrisen sarjan, jonka summa on 1. Toisin sanoen:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\ldots =1.$

Alkulukua, joka on jokin kahden potenssi miinus yksi, kutsutaan Mersennen alkuluvuksi. Esimerkiksi luku 31 on Mersennen alkuluku, koska se on yksi vähemmän kuin luku 32, joka on puolestaan kahden potenssi (2⁵).

Reaalinen polynomi $a^{n}+b^{n}$ on jaoton, jos ja vain jos n on kahden potenssi. (Jos n on pariton, niin $a^{n}+b^{n}$ on jaollinen binomilla $a+n$, ja jos n on parillinen mutta ei kahden potenssi, voidaan n esittää tulona $n=mp$, missä m on pariton, ja näin ollen $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$, joka on jaollinen binomilla $a^{p}+b^{p}$.)

Sitä vastoin kompleksialueessa polynomi $a^{2n}+b^{2n}$ (missä $n\geq 1$) voidaan aina jakaa seuraaviin tekijöihin: $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$, silloinkin kun n on kahden potenssi.

Kahden potenssit tietotekniikassa

Koska luku kaksi on binäärijärjestelmän kantaluku, kahden potensseilla on tärkeä asema tietotekniikassa. Erityisesti kaksi korotettuna potenssiin n kertoo, kuinka monella tavalla n kappaletta bittejä voidaan valita. Tämä on yläraja sille, kuinka suuren luvun binäärijärjestelmässä n kappaleella bittejä voi esittää. Tämän seurauksena lukuja, jotka ovat kahden potensseja, ilmaantuu usein eri tietokonejärjestelmissä. Esimerkiksi kahdeksalla bitillä voidaan esittää $2^{8}=256$ lukua eli esimerkiksi kokonaisluvut 0–255. Kahdeksan bitin pituiselle jonolle on annettu erityisnimi tavu, jota kutsutaan myös nimellä oktetti.

Tietokoneiden muistia mitataan usein kahden potensseilla. Usein käytetään tavun kerrannaisia, jotka ovat kahden potensseja, kuten kibitavu ($1\ 024=2^{10}$ tavua) ja mebitavu ($1\ 048\ 576=2^{20}$ tavua). Koska 1 024 on noin tuhat, on 1 024 tavua perinteisesti tietotekniikassa kutsuttu kilotavuksi ja vastaavasti 1 048 576 tavua megatavuksi. Tämä voi kuitenkin aiheuttaa sekaannuksia, ja siksi näille kahden potensseille eli ”binäärisille” kerrannaisille on sittemmin ehdotettu nimityksiä kibi ja mebi. Nykyään myös suorittimien rekisterien koot ovat tyypillisesti kahden potensseja kuten 64 bittiä.

Kahden potensseja ilmenee myös monissa muissa yhteyksissä. Kiintolevyissä sektorien ja lohkojen koot ovat yleensä kahden potensseja.

Myös ne tietotekniikassa esiintyvät luvut, jotka eivät ole kahden potensseja, kuten esimerkiksi näyttölaitteiden resoluutiot, ovat usein muutamien harvojen kahden potenssien summia. Esimerkiksi takavuosina yleinen resoluutio 640 pikseliä on 512 + 128. Näillä luvuilla on siis hyvin säännöllisen näköinen esitys binäärijärjestelmässä.

Kahden potenssit, joissa eksponentti on myös kahden potenssi

Koska modernien muistilaitteiden yhden muistialkion sisältämien bittien määrä on myös kahden potenssi, ovat suurimmat niillä esitettävät numerot kahden potensseja, joiden eksponentti on myös kahden potenssi. Esimerkiksi:

21 =	2
22 =	4
24 =	16
28 =	256
216 =	65 536
232 =	4 294 967 296
264 =	18 446 744 073 709 551 616
2128 =	340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456

Nopea algoritmi sen tutkimiseen, onko luku kahden potenssi

Jos numero on esitetty binäärijärjestelmässä, on olemassa hyvin nopea tapa tutkia onko se kahden potenssi tai nolla:

x on kahden potenssi tai nolla $\Leftrightarrow$ (x & (x − 1)) on yhtä kuin nolla

jossa & on looginen bittikohtainen JA-operaattori.

Esimerkkejä

x on kahden potenssi (tai nolla):

−1 =	1…111…1
x =	0…010…0
x − 1 =	0…001…1
x & (x − 1) =	0…000…0

y ei ole kahden potenssi (eikä nolla):

−1 =	1…111…111…1
y =	0…010…010…0
y − 1 =	0…010…001…1
y & (y − 1) =	0…010…000…0

Kahden potenssit musiikin teoriassa ja nuottikirjoituksessa

Nuottikirjoituksessa sävelen kesto osoitetaan erimuotoisilla nuoteilla. Sellaisenaan kaikki nuotit vastaavat kestoa, joka on kokonuottia vastaava kesto jaettuna jollakin kahden potenssilla; tällaisia ovat siis puolinuotti, neljäsosanuotti, kahdeksasosanuotti, kuudestoistaosanuotti jne. Näistä poikkeavat aika-arvot osoitetaan lisämerkinnöillä, esimerkiksi lisäämällä nuotin jälkeen piste, joka pidentää sen keston 1 1/2 -kertaiseksi, tai käyttämällä trioli-, kvintoli- tai muuta vastaavaa merkintää. Tahtiosoituksissa alempana lukuna, nimittäjänä, joka osoittaa tahtiosuuden pituuden, käytetään lähes yksinomaan kahden potensseja; osoittaja, joka osoittaa tahtiosuuksien lukumäärän tahdissa, sen sijaan voi olla muukin luku, usein esimerkiksi 3 tai 6.

Kahden sävelen taajuuksien suhde on kahden potenssi, jos ja vain jos niiden välinen intervalli on täysiä oktaaveja. Tässä tapauksessa sävelillä on sama nimi mutta ne kuuluvat eri oktaavialoihin.