Täydennetty matriisi

Kun kahden annetun matriisin A ja B sarakkeet yhdistetään, saadaan Täydennetty matriisi

$(A|B)$.

Yleensä täydennetty matriisi muodostetaan, kun halutaan suorittaa molemmille matriiseille samat alkeisrivitoimitukset esimerkiksi ratkaistaessa lineaarista yhtälöryhmää matriisimuodossa. Vertaamaalla lineaariselle yhtälöryhmälle muodostetun täydennetyn matriisin astetta lineaarisen yhtälöryhmän kerroinmatriisin asteeseen saadaan Rouché–Capellin teoreeman mukaan selville yhtälöryhmän ratkaisujen olemassaolo ja lukumäärä.

Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaariselle yhtälöryhmälle matriisimuodossa

$AX=B$

saadaan yhdistämällä kerroinmatriisi A ja ratkaisuvektori B täydennetty matriisi

$(A|B)$.

Tästä voidaan alkeisrivitoimituksin lähteä etsimään ( A | B ):n kanssa riviekvivalenttia porrasmatriisia ( C | D ), josta yhtälön ratkaisut on mahdollista selvittää. Tämä tunnetaan Gaussin eliminointimenetelmänä. Jatkamalla alkeisrivitoimituksia redusoituun porrasmuotoon, josta yhtälöryhmän ratkaisu on mahdollista lukea suoraan, käytetään Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmää.

Tarkastellaan esimerkiksi lineaarista yhtälöryhmää

${\begin{aligned}x+2y+3z&=0\\3x+4y+7z&=2\\6x+5y+9z&=11\end{aligned}}$

Yhtälöryhmän kerroinmatriisi A ja ratkaisuvektori B ovat

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\end{bmatrix}},$

Jolloin täydennetty matriisi on

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{array}}\right]$.

Tämän matriisin kanssa riviekivalentiksi redusoiduksi porrasmatriisiksi saadaan

$\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&4\\0&1&0&1\\0&0&1&-2\\\end{array}}\right],$

jolloin yhtälön ratkaisu on (x, y, z) = (4, 1, -2).

Käänteismatriisin etsiminen

Kun neliömatriisille C etsitään käänteismatriisia voidaan yksikkömatriisin I kanssa muodostaa täydennetty matriisi

$(C|I)$,

jota lähdetään alkeisrivitoimituksin muokkaamaan redusoiduksi porrasmatriisiksi

$(D|E)$.

Jos saadun redusoidun porrasmatriisin D=I, on matriisi C kääntyvä ja sen käänteismatriisi

$C^{-1}=E$.

Etsitään esimerkiksi onko 2x2 matriisilla C käänteismatriisia

$C={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}}.$

Muodostetaan täydennetty matriisi ( C | I )

$(C|I)=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{array}}\right]$

Tästä saadaan alkeisrivitoimituksilla muokattua redusoitu porrasmatriisi

$(I|C^{-1})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right]$

Koska saadun matriisin vasen puoli on yksikkömatriisi todetaan käänteismatriisin olevan olemassa

$C^{-1}={\begin{bmatrix}0&-{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{bmatrix}}.$

Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisujen olemassaolo ja lukumäärä

Rouché–Capellin teoreeman mukaan lineaarisella yhtälöryhmällä on olemassa ratkaisuja jos ja vain jos yhtälöryhmän kerroinmatriisin aste on yhtäsuuri kuin täydennetyn matriisin aste. Ratkaisuja on yksi jos ja vain jos yhtälöryhmän tuntemattomien lukumäärä on yhtä suuri kuin täydennetyn ja kerroinmatriisin aste. Jos ratkaisuja on olemassa ja matriisien aste on pienempi kuin yhtälöryhmän muuttujien lukumäärä, ratkaisuja on äärettömän monta.

Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää

x + y + 2z = 3

x + y + z = 1

2x + 2y + 2z = 2.

Yhtälöryhmän kerroinmatriisi on

$A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},$

jolloin yhtälöryhmän täydennetyksi matriisiksi saadaan

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&2\end{array}}\right].$

Koska molempien matriisien aste on 2, tiedetään yhtälöryhmällä olevan ratkaisuja. Koska yhtälöryhmän tuntemattomien määrä 3 > 2, yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja.

Tarkastellaan seuraavaksi yhtälöryhmää

x + y + 2z = 3

x + y + z = 1

2x + 2y + 2z = 5.

Kerroinmatriisiksi saadaan

$A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},$

ja täydennetty matriisi on

$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].$

Tällä kertaa kerroinmatriisin aste on 2, mutta täydennetyn matriisin 3, joten tällä yhtälöryhmällä ei ole ratkaisuja.

Palataan tarkastelemaan ensimmäisen esimerkin lineaarista yhtälöryhmää

${\begin{aligned}x+2y+3z&=0\\3x+4y+7z&=2\\6x+5y+9z&=11\end{aligned}}$,

Kun tämän yhtälöryhmän kerroinmatriisin ja täydennetyn matriisin asteet lasketaan, huomataan molempien olevan 3, joka on myös yhtälön tuntemattomien lukumäärä. Rouché–Capellin teoreeman mukaan tällä yhtälöllä on olemassa yksi ratkaisu.

Lähteet

• Hannu Honkasalo, "Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I ja II" Helsingin yliopisto luentomuistiinpanot

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).