Binäärioperaatio

Joukon A binäärioperaatio tai binäärinen operaatio on funktio $*:A\times A\rightarrow A.$ Pohjimmiltaan se on abstrakti laskutoimitus.

Alkion $(x,y)\in A\times A$ kuva-alkiolle on yleinen merkintätapa $x*y.\$. Koska relaatio $*$ on funktio, täytyy päteä, että alkio $x*y\in A$ on yksikäsitteinen.

Ominaisuuksia

Joukon A binäärioperaatio $*\$ on

• ykkösellinen, jos on olemassa sellainen alkio $e\in A$ (neutraalialkio), jolle pätee $a*e=e*a=a\$ kaikilla $x\in A,$
• kommutatiivinen, jos $x*y=y*x\$ kaikilla $x,y\in A.$ ja
• assosiatiivinen, jos $(x*y)*z=x*(y*z)\$ kaikilla $x,y,z\in A$.

Viimeisessä kohdassa merkintä $(x*y)*z\$ tarkoittaa parin $((x*y),z)\$ kuva-alkiota.

Esimerkkejä

Kokonaislukujen yhteenlasku (+) ja kertolasku ovat kommutatiivisia ja assosiatiivisia binäärioperaatiota. Yhteenlaskun neutraalialkio on 0 ja kertolaskun neutraalialkio on 1. Vastaavasti myös esimerkiksi rationaalilukujen ja reaalilukujen yhteen- ja kertolaskut ovat binäärioperaatioita.

Nollasta eroavien kokonaislukujen jakolasku (/) ei ole binäärioperaatio, koska esimerkiksi parin $(1,2)$ kuva $1/2$ ei kuulu kokonaislukuihin. Toisaalta nollasta eroavien rationaalilukujen jakolasku on binäärioperaatio, joka ei ole kommutatiivinen, koska esimerkiksi $2/1\not =1/2.$

Merkitys algebrassa

Binäärioperaatiolla on merkittävä osa useassa abstraktin algebran rakenteessa. Esimerkiksi magma on pari $(A,*)\$, missä A on joukko ja $*\$ on joukon A binäärioperaatio. Magman johdannaisissa rakenteissa binäärioperaatiolta vaaditaan lisää ominaisuuksia. Esimerkiksi puoliryhmä on magma, jonka binäärioperaatio on assosiatiivinen. Muita magmasta lähteviä rakenteita ovat esimerkiksi monoidi, kvasiryhmä, luuppi ja ryhmä. Rengas, kokonaisalue ja kunta ovat taas kolmikkoja $(A,+,*)\$, missä A on joukko sekä $+\$ ja $*\$ ovat joukon A binäärioperaatiota tietyin lisäehdoin.