Nombre harshad

Un nombre Harshad, ou nombre de Niven, est un entier qui est divisible par la somme de ses chiffre dans une base donnée. Les nombres de Niven ont été qualifiés ainsi en rapport avec Ivan M. Niven à partir d'un article prononcé à une conférence sur la théorie des nombres en 1997. Tous les nombres compris entre zéro et le nombre de la base sont des nombres Harshad.

Les premiers petits nombres Harshad avec plus d'un chiffre en base 10 sont (suite A005349 dans l'encyclopédie électronique des suites entières) :

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, 201, 204

Un nombre qui est un nombre Harshad dans une base quelconque est appelé un nombre Harshad complet, ou un nombre de Niven complet ; il existe seulement quatre nombres Harshad complets, 1, 2, 4 et 6.

Quels nombres peuvent être des nombres de Harshad ?

En prenant le test de divisibilité pour le 9, on pourrait être tenté de généraliser que tous les nombres divisibles par 9 sont aussi des nombres Harshad. Mais pour le but de la détermination du caractère Harshad pour n, les chiffres de n ne peuvent seulement être additionnés qu'une fois et n doit être divisible par cette somme, autrement, il n'est pas un nombre Harshad. Par exemple, 99, bien qu'il soit divisible par 9 comme le montre 9 + 9 = 18 et 1 + 8 = 9, n'est pas un nombre Harshad, puisque 9 + 9 = 18 = 2 × 3² et 99 n'est pas divisible par 2.

Evidemment, le nombre de la base sera toujours un nombre Harshad dans sa propre base, puisqu'il sera représenté comme "10" et 1 + 0 = 1.

Pour un nombre premier qui est aussi un nombre Harshad, il doit être inférieur au nombre de la base, ou le nombre de la base lui-même. Autrement, les chiffres du nombre premier s'additionneront au nombre qui est plus que 1 mais inférieur à ce nombre premier, et évidemment, il ne sera pas divisible.

En base 10, toutes les factorielles sont des nombres Harshad.

Nombres Harshad consécutifs

H.G. Grundman démontra en 1994 qu'en base 10, il n'existe pas 21 entiers consécutifs qui sont tous des nombres Harshad. Il trouva aussi la plus petite suite de 20 entiers consécutifs qui sont tous des nombres Harshad ; ils dépassent 10^44363342786.

En binaire, il existe une infinité de suites de quatres nombres Harshad consécutifs, alors qu'en base 3, il existe une infinité de suites de six nombres Harshad consécutifs ; ces résultats ont été prouvés tous les deux par T. Cai en 1996. En base unaire, ou en marquage en bâton, tous les nombres sont des nombres Harshad.

Estimation de la densité des nombres Harshad

Si nous prenons $N(x)\,$ pour désigner le nombres de nombres Harshad <= x, alors pour tout $\epsilon >0\,$ donné,

$x^{1-\varepsilon }<<N(x)<<{\frac {x\log \log x}{\log x}}$

comme montré par Jean-Marie De Koninck et Nicolas Doyon ; de plus, De Koninck, Doyon et Kátai ont démontré que

$N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}}$

où c = 14/27 log 10 ≈ 1,1939.

Références

• H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quart. 32 (1994), 174-175
• Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quart. Volume 41.5 (November 2003), 431-440
• Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katái, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265-275