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Le tenseur des déformations vise à caractériser en un point la variation de longueur d'un segment à la suite de la transformation subie par le milieu. La déformation du milieu peut être décrite par la fonction (supposée suffisamment régulière) qui, à un point A du milieu, associe son transformé A' :
Soit un segment AB qui se transforme en A'
B'. Le tenseur des déformations permet de quantifier . On a en effet :
est l'opérateur des déformations de Green-Lagrange. Il s'agit d'un tenseur symétrique réel, donc diagonalisable dans une base orthonormée. Les directions propres sont appelées directions principales de déformation. Le domaine des petites déformations est celui où la longueur des segments varie peu lors de la transformation, ce qui correspond à .
Dans le cas d'une transformation infinitésimale (), on néglige les termes du second ordre et on obtient le tenseur des déformations linéarisé :
Sous forme de composantes dans une base orthonormée :
Une transformation infinitésimale est une petite déformation, mais la réciproque n'est pas vraie. Par exemple, une rotation pure ne présente aucune déformation () mais n'est pas infinitésimale.
Les termes diagonaux sont les allongements relatifs dans la direction i (selon l'axe xi). Prenons le cas d'un segment [AB], parallèle à l'axe x1, et intéressons-nous à la partie de la déformation également parallèle à x1, que nous noterons [A'B' ].
L'allongement relatif vaut (exprimée en distances algébriques) :
Sachant que
et
où est la composante de selon l'axe x1, cet allongement vaut :
On reconnaît un taux d'accroissement de la fonction , et si l'on se place en petites déformations, on peut remplacer ce taux d'accroissement par la dérivée de , ce qui donne :
Les autres termes (i ≠ j) sont les , demi-variations de l'angle droit d'un petit volume de matière cubique avant déformation.
En effet, un carréABCD, où [AB] est parallèle à x1 et [AD] est parallèle à x2, se transforme en un losangeAB'C'D' , symétrique selon la première bissectrice du plan.
Variation de volume réelle (haut) et approchée (bas) : le dessin en vert montre le volume estimé et le dessin en orange le volume négligé
Considérons un prisme élémentaire engendré par trois vecteurs . Sa transformée par est le prisme engendré par .
Soit V0 celui du prisme initial et V le volume de la transformée.
On a, au premier ordre :
La variation relative de volume est
Dans le cas des petites déformations, et det(F) - 1 est égal au premier ordre à la trace de , qui est égale à la trace du tenseur :
On peut retrouver ce résultat en se plaçant dans la base des directions principales de déformation. Considérons un cube d'arête a. Après déformation on a un quasi-parallélépipède de volume :
alors que :
ce qui donne :
comme on est en très faible déformation,
1 >> εii >> εii·εjj >> ε11·ε22·ε33
d'où le résultat.
On dit qu'il y a cisaillement pur lorsque la trace est nulle, autrement dit lorsqu'il n'y a pas de variation de volume.
Une déformation est dite incompressible si elle s'effectue sans variation de volume en tout point du corps. En particulier, les déformations plastiques s'effectuent sans variation de volume.
Les directions sont appelées directions principales, et les déformations εI, εII et εIII sont les déformations principales.
Les déformations principales sont les valeurs propres du tenseur, et les directions propres, ses vecteurs propres.
Les valeurs propres vérifient l'équation
où est la matrice identité ; les déformations principales sont donc les solutions en de cette équation.
et ainsi en petites déformations, la variation relative de volume vaut
Contrairement aux contraintes principales, la notion de déformation principale est assez peu utilisée pour le calcul. Elle permet par contre d'exprimer de manière simple l'énergie élastique, et est utile pour dépouiller les résultats d'extensométrie. Par ailleurs, les directions principales sont les mêmes pour le tenseur des déformations et pour le tenseur des contraintes.