Constante d'Erdős-Tenenbaum-Ford

La constante d’Erdős–Tenenbaum–Ford est une constante mathématique qui intervient en théorie des nombres^[1]. Portant le nom des mathématiciens Paul Erdős, Gérald Tenenbaum et Kevin Ford, elle est définie par

\delta :=1-{\frac {1+\log \log 2}{\log 2}}=0.0860713320\dots

où $\log$ est ici le logarithme népérien.

Problème de la table de multiplication[modifier | modifier le code]

Pour tout entier positif $N$ , soit $M(N)$ le nombre d’entiers distincts dans une table de multiplication $N\times N$ . En 1960, Erdős a étudié le comportement asymptotique de $M(N)$ et il a prouvé que

M(N)={\frac {N^{2}}{(\log N)^{\delta +o(1)}}},

lorsque $N$ tend vers l’infini^[2].

Diviseurs[modifier | modifier le code]

Après un travail antérieur de Tenenbaum, Ford a utilisé cette constante pour analyser le nombre $H(x,y,z)$ d’entiers qui sont inférieurs ou égaux à $x$ et ont au moins un diviseur compris entre $y$ et $z$ ^[3]^,^[4]^,^[5].

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Erdős–Tenenbaum–Ford constant » (voir la liste des auteurs).

↑ Florian Luca et Carl Pomerance, « On the range of Carmichael's universal-exponent function », Acta Arithmetica, vol. 162, n^o 3,‎ 2014, p. 289–308 (DOI 10.4064/aa162-3-6, MR 3173026, lire en ligne).
↑ Paul Erdős, « An asymptotic inequality in the theory of numbers », Vestnik Leningrad. Univ., vol. 15,‎ 1960, p. 41–49 (MR 0126424).
↑ Gérald Tenenbaum, « Sur la probabilité qu'un entier possède un diviseur dans un intervalle donné », Compositio Mathematica, vol. 51, n^o 2,‎ 1984, p. 243–263 (MR 739737, lire en ligne).
↑ (en) Kevin Ford, « The distribution of integers with a divisor in a given interval », Annals of Mathematics, 2^e série, vol. 168, n^o 2,‎ 2008, p. 367–433 (DOI 10.4007/annals.2008.168.367 , MR 2434882, arXiv math/0401223).
↑ Dimitris Koukoulopoulos, « Divisors of shifted primes », International Mathematics Research Notices, vol. 2010, n^o 24,‎ 2010, p. 4585–4627 (MR 2739805, S2CID 7503281).

Lien externe[modifier | modifier le code]

Constante d'Erdős–Tenenbaum–Ford sur la base OEIS.

Arithmétique et théorie des nombres

[1] Florian Luca et Carl Pomerance, « On the range of Carmichael's universal-exponent function », Acta Arithmetica, vol. 162, n^o 3,‎ 2014, p. 289–308 (DOI 10.4064/aa162-3-6, MR 3173026, lire en ligne).

[2] Paul Erdős, « An asymptotic inequality in the theory of numbers », Vestnik Leningrad. Univ., vol. 15,‎ 1960, p. 41–49 (MR 0126424).

[3] Gérald Tenenbaum, « Sur la probabilité qu'un entier possède un diviseur dans un intervalle donné », Compositio Mathematica, vol. 51, n^o 2,‎ 1984, p. 243–263 (MR 739737, lire en ligne).

[4] (en) Kevin Ford, « The distribution of integers with a divisor in a given interval », Annals of Mathematics, 2^e série, vol. 168, n^o 2,‎ 2008, p. 367–433 (DOI 10.4007/annals.2008.168.367 , MR 2434882, arXiv math/0401223).

[5] Dimitris Koukoulopoulos, « Divisors of shifted primes », International Mathematics Research Notices, vol. 2010, n^o 24,‎ 2010, p. 4585–4627 (MR 2739805, S2CID 7503281).

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