Orthoptique
En géométrie, une orthoptique est l'ensemble des points pour lesquels deux tangentes d'une courbe donnée se rencontrent à angle droit.
Plus généralement, une isoptique est l'ensemble des points pour lesquels deux tangentes d'une courbe donnée se rencontrent selon un angle fixe.
Le théorème de Thalès sur une corde PQ peut être considéré comme l'orthoptique de deux cercles dégénérés aux deux points P et Q .
Exemples d'orthoptiques
[modifier | modifier le code]Orthoptique d'une parabole
[modifier | modifier le code]Toute parabole peut être transformée par un mouvement rigide (les angles ne sont pas modifiés) en une parabole d'équation . La pente en un point de cette parabole est . Remplacer donne la représentation paramétrique de la parabole avec la pente tangente comme paramètre : La tangente a pour équation avec le paramètre encore inconnu , qui peut être déterminé en insérant les coordonnées du point de la parabole. On obtient
Si une tangente contient le point (x0, y0), hors de la parabole, alors l'équation
est vraie, qui admet deux solutions m1 et m2 correspondant aux deux tangentes passant par (x0, y0). Le terme constant d'une équation quadratique réduite est toujours le produit de ses solutions. Par conséquent, si les tangentes se rencontrent en (x0, y0) orthogonalement, les équations suivantes s'appliquent :
La dernière équation est équivalente à
qui est l'équation de la directrice.
Orthoptique d'une ellipse et d'une hyperbole
[modifier | modifier le code]Ellipse
[modifier | modifier le code]Soit l'ellipse étudiée.
Les tangentes à l'ellipse aux sommets et les co-sommets se croisent aux 4 points , qui se situent sur la courbe orthoptique désirée (le cercle ).
La tangente en un point de l'ellipse a l'équation (voir tangente à une ellipse). Si le point n'est pas un sommet, cette équation peut être résolue pour y :
En notant et l'équation on obtient :
Ainsi et l'équation d'une tangente non verticale est
La résolution de relations pour et en respectant conduit à la représentation paramétrique dépendant de la pente de l'ellipse :
Si une tangente contient le point , hors de l'ellipse, alors on a l'équation
L'élimination de la racine carrée conduit à
qui a deux solutions correspondant aux deux tangentes passant par . Le terme constant d'une équation quadratique monique est toujours le produit de ses solutions. Donc, si les tangentes se rencontrent en orthogonalement, les équations suivantes sont vérifiées :
La dernière équation est équivalente à
Ainsi, les points d'intersection des tangentes orthogonales sont les points du cercle , qu'on appelle cercle de Monge de l'ellipse.
Hyperbole
[modifier | modifier le code]Le cas de l'ellipse peut être adapté presque exactement au cas de l'hyperbole. Les seules modifications à apporter sont de remplacer par et restreindre m à |m| > ba
Dans ce cas, les points d'intersection des tangentes orthogonales sont les points du cercle , où a > b.
Orthoptique d'un astroïde
[modifier | modifier le code]Un astroïde peut être décrit par la représentation paramétrique
- .
De la condition
on reconnaît la distance α dans l'espace des paramètres à laquelle apparaît une tangente orthogonale à . Il s'avère que la distance est indépendante du paramètre t, à savoir α = ± π2
Leur point commun a pour coordonnées :
Il s'agit en même temps d'une représentation paramétrique de l'orthoptique.
L'élimination du paramètre t donne la représentation implicite
En introduisant le nouveau paramètre φ = t − 5π4, il vient
La preuve utilise les identités de somme et de différence d'angle. On obtient ainsi la représentation polaire de l'orthoptique :
Ainsi, l'orthoptique d'un astroïde est un quadrifolium.
Autres exemples
[modifier | modifier le code]- L'orthoptique d'une cardioide est, selon les paramètres de la courbe, un cercle ou un limaçon.
- L'orthoptique d'une deltoïde est un cercle.
- L'orthoptique d'une spirale logarithmique est une spirale logarithmique de même paramètre.
Isoptiques
[modifier | modifier le code]Isoptique de sections coniques
[modifier | modifier le code]Ci-dessous, les isotopes pour les angles α ≠ 90° sont répertoriés. On les appelle α-isoptiques.
- Parabole
Les α -isoptiques de la parabole d'équation y = ax2 sont les branches de l'hyperbole
Les branches de l'hyperbole fournissent les isoptiques pour les deux angles α et 180° − α (voir image).
- Ellipse
L'α-isoptique de l'ellipse d'équation
- Hyperbole
L'α-isoptique de l'hyperbole d'équation
Pour visualiser les isoptiques, voir courbe implicite.
Autres exemples
[modifier | modifier le code]- Une isoptique d'une épicycloïde est une épitrochoïde
- Une isoptique d'une hypocycloïde est une hypotrochoïde
- Une isoptique d'une spirale sinusoïdale est une autre spirale sinusoïdale
- Une isoptique d'une cycloïde est une autre cycloïde, allongée ou raccourcie
Références
[modifier | modifier le code]- (en) Harold Hilton et R. E. Colomb, « On Orthoptic and Isoptic Loci », American Journal of Mathematics, vol. 39, no 1, , p. 86–94 (DOI 10.2307/2370445)
- (en) Waldemar Cieślak et Witold Mozgawa, « On curves with circles as their isoptics. », Aequat. Math., vol. 96, , p. 653–667 (DOI 10.1007/s00010-021-00828-4)
Liens externes
[modifier | modifier le code]- Courbes planes spéciales.
- (en) Eric W. Weisstein, « Isoptic Curve », sur MathWorld
- Les courbes de Jan Wassenaar
- "Courbe isoptique" sur MathCurve
- "Courbe orthoptique" sur MathCurve
Références
[modifier | modifier le code]- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Orthoptic (geometry) » (voir la liste des auteurs).
- J. Dennis Lawrence, A catalog of special plane curves, Dover Publications, , 58–59 (ISBN 0-486-60288-5, lire en ligne
)
- Odehnal, « Equioptic Curves of Conic Sections », Journal for Geometry and Graphics, vol. 14, no 1, , p. 29–43 (lire en ligne)
- Hermann Schaal, Lineare Algebra und Analytische Geometrie, vol. III, Vieweg, (ISBN 3-528-03058-5), p. 220
- Jacob Steiner, Vorlesungen über synthetische Geometrie, Leipzig, B. G. Teubner, (lire en ligne)
- Ternullo, « Two new sets of ellipse related concyclic points », Journal of Geometry, vol. 94, nos 1–2, , p. 159–173 (DOI 10.1007/s00022-009-0005-7, S2CID 120011519)