Théorème de Popescu

En algèbre commutative et en géométrie algébrique, le théorème de Popescu, formulé par Dorin Popescu en 1985 et 1986 est le suivant :

Théorème —  Soit $A$ un anneau noethérien et soit $B$ une algèbre noethérienne sur $A$. L'application canonique $A\to B$ est un homomorphisme régulier si et seulement si $B$ est une limite directe de $A$-algèbres lisses .

Exemple

Par exemple, si $A$ est un anneau de Grothendieck local (par exemple, un anneau excellent local) et $B$ est sa complétion, alors l'application $A\to B$ est régulière par définition et le théorème s'applique.

Démonstrations et extensions

Une autre preuve du théorème de Popescu a été donnée par Tetsushi Ogoma, et une présentation du résultat a été donnée par Richard Swan.

Le théorème de Popescu a aussi été prouvé par une autre méthode, et quelque peu renforcé, par Mark Spivakovsky.

Application

La démonstration usuelle du théorème d'approximation d'Artin (en) repose pour l'essentiel sur le théorème de Popescu.

Liens externes

• « Presenting $\mathbb {Q} [[t]]$ as an explicit colimit of smooth $\mathbb {Q}$-algebras: an explicit example for the Popescu's theorem », sur MathOverflow.