Սինուսների թեորեմ

Եռանկյուն

Սինուսների թեորեմը պնդում է, որ եռանկյան կողմերը համեմատական են հանդիպակաց անկյունների սինուսներին՝

${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}},$

Սինուսների թեորեմից հետևում է, որ եռանկյան մեծ անկյան դիմաց գտնվում է մեծ կողմ, մեծ կողմի դիմաց՝ մեծ անկյուն։

Ապացույց

Ենթադրենք ունենք a, b, և c կողմեր ունեցող եռանկյուն, և այդ կողմերի հանդիպակաց անկյուններն են A-ն, B-ն, և C-ն։ C գագաթից տարված բարձրությունը եռանկյունը բաժանում է երկու ուղղանկյուն եռանկյունիների։ Նշանակենք բարձրությունը h-ով։

Այդ դեպքում.

$\sin A={\frac {h}{b}}{\text{ և }}\sin B={\frac {h}{a}}.$

Հետևաբար,

$h=b\sin A=a\sin B\,$

և

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}$։

Նույն գործողությունները A գագաթից տարված բարձրության հետ անելիս՝ կստանանք

${\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}$։