Fisica classica/Le leggi di Kirchhoff

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Generatori di f.e.m

Lo studio e l'utilizzo delle correnti elettriche è stato possibile solo con la scoperta da parte di Alessandro Volta nel 1799 della prima pila, basata sulla trasformazione di energia chimica in energia elettrica. Una pila elementare è semplicente costituita da due metalli diversi (ad esempio nel caso della pila di Volta zinco e rame) immersi in una soluzione acida (acido solforico). Il rame diventa positivo rispetto allo zinco e si genera una d.d.p. di circa 1.5 V. Quindi collegando i due elettrodi con una resistenza in essa fluisce una corrente elettrica, il cui valore è limitato dalla reazione chimica che avviene e contemporaneamente si consumano gli elettrodi. Fino al 1869, data della scoperta della dinamo, le batterie, anche se modificate rispetto alla scoperta iniziale di Volta, sono state l'unico elemento in grado di generare corrente elettrica a partire da altre forme di energia.

Disegno schematico di un generatore di f.e.m. con una resistenza

Si chiamano generatori di forza elettromotrice tutti i dispositivi che producono energia elettrica trasformando energia di altro tipo in energia elettrica. Infatti per potere far circolare della corrente elettrica (in maniera permanente) in un circuito elettrico è necessario di avere a disposizione forze non elettriche che spostino le cariche. Tali forze devono opporsi alle forze elettriche ed essere in grado di accumulare le cariche elettriche di segno opposto in particolari zone dello spazio sugli estremi del generatore esterno detti i morsetti del generatore di f.e.m. Se le zone dello spazio dove si accumulano le cariche elettriche sono connesse tra di loro tramite circuiti elettrici, le forze elettriche tenderanno a riequilibrare la distribuzione delle cariche, tramite spostamento di cariche e quindi generando un corrente elettrica.

La corrente elettrica circolante nel circuito sarà eguale a quella prodotta dalle forze non elettriche nel generare la separazione di cariche.

Se invece le zone non sono elettricamente connesse la situazione di equilibrio viene raggiunta quando le forze elettriche che nascono dalla separazione delle cariche si bilanciano esattamente con le forze non elettriche che spostano le cariche. Tali forze si possono immaginare generate da un campo di forze, definito come il campo elettrico, cioè per unità di carica, detto campo elettromotore (tale campo è in genere non conservativo, ma questo non influenza la definizione in quanto interessa solo l'integrale di linea da un morsetto all'altro all'interno del dispositivo). Se si vuole la non conservatività è data proprio dal fatto che esiste solo all'interno del generatore e quindi l'integrale di linea tra un morsetto e l'altro all'esterno è nullo, mentre l'integrale di linea tra un morsetto e l'altro all'interno è la forza elettromotrice: quindi la circuitazione del campo elettromotore attraverso la linea chiusa che passa per i morsetti è diversa da zero.

Un qualsiasi dispositivo di questo genere si chiama generatore di f.e.m.: è in realtà un dispositivo attivo che converte energia di natura non elettrica in energia elettrica: chimica per le batterie e le celle a combustibile, solare per le celle solari, meccanica per le dinamo o gli alternatori ecc..

Il più semplice circuito che si può immaginare è costituito da un generatore di f.e.m (una batteria ad esempio) tra i cui morsetti è posta una resistenza $R\$ come indicato in alto e in maniera schematica in basso. In tale figura è anche mostrato il simbolo di un generatore di f.e.m. Il generatore genera una d.d.p. $V_{A}-V_{B}\$, ai capi della resistenza $R\$, in questa circola una corrente $I\$ in senso orario (se invertissi i morsetti sarebbe in senso antiorario) e valendo la legge di Ohm posso scrivere:

$V_{A}-V_{B}=IR\$

(1)

Disegno schematico di un generatore reale di f.e.m. con una resistenza interna

L'integrale di linea del campo elettromotore (forza di natura non elettrica) tra i due morsetti viene chiamata forza elettromotrice del generatore, spesso rappresentata con $f\$, e ha le dimensioni di un lavoro per unità di carica, quindi nel SI si misura in $V\$ (Volts), ma non è fisicamente una differenza di potenziale. Un generatore di forza elettromotrice è caratterizzato dalla sua d.d.p. a morsetti aperti (non connessi a nessun circuito). Il generatore è connesso ad un circuito esterno che può essere una semplice resistenza o qualcosa di più complicato: che viene indicato con il nome generico di carico.

Non si possono trascurare i fenomeni dissipativi elettrici all'interno del generatore, come anche il fatto che non possa essere generata una corrente troppo grande; questo fatto in maniera empirica viene rappresentato con una resistenza in serie interna al generatore chiamata appunto resistenza interna. Quindi un generatore reale viene rappresentato come nella figura a fianco. Quindi dato un generatore di f.e.m. $f\$ e resistenza interna $r\$ collegato ad un carico semplice costituito da una semplice resistenza elettrica $R\$ la corrente circolante sarà:

$I={\frac {f}{R+r}}\$

(2)

Ovviamente se $R\gg r\$ l'effetto della resistenza interna è trascurabile.

In genere nei problemi di fisica questi fatti vengono completamente trascurati e i generatori di f.e.m. sono degli elementi perfettamente reversibili caratterizzati dall d.d.p. tra i morsetti a circuito aperto (la f.e.m.), la resistenza interna (fissa) e che erogano corrente se viene collegato una resistenza tra i morsetti, ma la assorbono se una tensione maggiore della f.e.m. viene applicata tra gli estremi.

In ogni caso a meno che la sorgente non abbia limiti (come una batteria ricaricabile che venga continuamente ricaricata) un generatore é caratterizzato anche dalla sua capacità di carica: cioè la carica in essa contenuta quando é perfettamente carica. Per tale capacità l'unità di misura nel sistema SI è il Coulomb, nella pratica, di uso commerciale, si usa l'ampere ora (un'unità di misura non SI 3600 volte più grande del Coulomb).

Il funzionamento interno di un generatore di f.e.m. solo idealmente è rappresentabile nel modo indicato. Bisognerebbe fare una distinzione tra le diverse forme di generatori che solo idealmente hanno tre soli parametri che li caratterizzano: la f.e.m., la resistenza interna e la capacità di carica. La resistenza interna reale, nelle batterie ad esempio, ha un valore che dipende dalla corrente erogata quindi non rispetta la legge di Ohm cioè dovremmo scrivere $r(I)\$. Inoltre in una batteria reale la $f\$ diminuisce via via che la batteria eroga corrente e contemporaneamente aumenta la sua resistenza interna. Anche non si può trascurare il fatto che la maggior parte dei generatori di f.e.m. hanno un comportamento che dipende dalla loro storia. In particolare le batterie ricaricabili presentano anche isteresi, per cui la capacità dipende dal meccanismo di carica e scarica: tale fenomeno va sotto il nome di memoria delle batterie (le batterie ricaricabili al NiCd sono state sostituite in questi anni da altri tipi di batteria proprio a causa di tale comportamento indesiderato).

Rappresentazione grafica della I legge di Kirchhoff, il nodo è il punto dove convergono le correnti entranti ed escono quelle uscenti

La prima legge di Kirchhoff

La prima legge di Kirchhoff la abbiamo già vista ed è conseguenza della conservazione carica. Tale legge stabilisce che in un nodo la somma delle correnti entranti I_in,i è pari a quella delle correnti uscenti I_out,j:

$\sum _{i}I_{in,i}=\sum _{j}I_{out,j}\$

(3)

Un nodo è un punto fisico in cui convergono più fili conduttori, privo di capacità elettrica.

Un ramo con tre resistenze e due generatori di f.e.m.

Notare che questa ultima condizione è essenziale, in quanto se il punto fisico avesse capacità elettrica nei fenomeni transitori la legge non sarebbe valida. Infatti la prima legge di Kirchhoff vale sia per i fenomeni stazionari (quelli che stiamo studiando), ma ha una validità più generale per fenomeni transitori o in genere per fenomeni in cui le correnti variano nel tempo. Tale legge ha un carattere generale per molti altri campi, ad esempio in idraulica se si ha che convergono più tubature in un unico punto, da cui si dipartono altre tubature, la quantità di acqua entrante è eguale a quella uscente, a meno che nel punto in cui convergono le tubature non sia presente un serbatoio, che ha la stessa funzione di un condensatore nei fenomeni non stazionari.

La seconda legge di Kirchhoff

Ramo

Una serie di vari elementi circuitali, resistenze, generatori di forza elettromotrice, elementi non ohmici, condensatori eccetera costituiscono un ramo. Tali elementi sono attraversati dalla stessa identica corrente a causa della equazione di continuità. In realtà l'estensione al caso in cui sono presenti condensatori nel ramo dipende dall'estensione dell'equazione di continuità e verrà trattata nel seguito con la corrente di spostamento). In ogni caso limitiamo le considerazioni al caso in cui siano presenti solo resistenze e generatori di forza elettromotrice. Se conosciamo la corrente, le resistenze e i generatori di f.e.m. Possiamo in maniera algebrica calcolare cosa succede e un caso particolare esemplica i ragionamenti.

Un caso particolare.
Esaminiamo la figura subito sopra, immaginando che il verso della corrente I sia come indicato 
dall'alto verso il basso ricavare la tensione $V_{B}\$ a partire da quella in $V_{A}\$. 
                    $V_{B}=V_{A}-f_{1}-IR_{1}+f_{2}-IR_{2}-IR_{3}\$
Notare che mentre $f_{1}\$  è  disposto  in  maniera  opposta  alla  corrente  
(cioè   corrisponde ad un generatore che assorbe corrente), l'altro generatore favorisce 
la circolazione  della corrente. Mentre ad ogni resistenza corrisponde una caduta 
di potenziale. Se il verso della corrente fosse stato l'opposto si sarebbe avuto una 
inversione di tutti i segni.

In generale dato un ramo, in cui sono presenti N generatori di f.e.m. f_i, ed M resistenza R_j possiamo scrivere che:

$V_{A}-V_{B}+\sum _{i=1}^{N}f_{i}=\sum _{j=1}^{M}IR_{j}\$

(4)

Questa relazione è chiamata legge di Ohm generalizzata.

Maglia

Un insieme di rami che formano un circuito chiuso si chiama maglia. Ad esempio nella figura sotto si hanno due maglie. Una maglia non è altro che un insieme di molti rami per ciascuno dei quali può scriversi l'equazione di prima, che quindi diventa un sistema di equazioni pari al numero dei rami che compongono la maglia. Se sommiamo tra di loro tutte queste equazione le somme di tutte le differenze di potenziale si annullano a causa della conservatività del campo elettrostatico.

Definizione della seconda legge di Kirchhoff

Quindi la seconda legge di Kirchhoff stabilisce che per ogni maglia composta da $N\$ generatori di forza elettromotrice $f_{i}\$, ed $M\$ resistenze $R_{j}\$ posssiamo scrivere:

$\sum _{i=1}^{N}f_{i}=\sum _{j=1}^{M}R_{j}I_{j}\$

(5)

Si noti che in questo caso le correnti nei vari rami sono in generale differenti, mentre in un singolo ramo erano eguali.

Le leggi di Kirchhoff consentono di scrivere apparentemente un numero di equazioni superiore alle incognite, in realtà si dimostra che le equazioni indipendenti sono pari al numero delle incognite. Ad esempio nel caso mostrato le equazioni della maglie apparenti sono 3 ma solo due equazioni sono indipendenti.

Un circuito a due maglie

L'esempio a fianco basato sul  circuito a  due  maglie appena mostrato chiarisce il problema. Se  le 
incognite sono $I_{1}\$ (corrente in $r_{1}\$), $I_{2}\$ (corrente  in $r_{2}\$) e $I_{3}\$ (corrente in $R\$)
per il nodo superiore posso scrivere (correnti entranti = corrente uscente):
                            $I_{1}+I_{2}=I_{3}\$
Il nodo inferiore definisce una equazione eguale algebricamente:
                             $I_{3}=I_{1}+I_{2}\$
Per quanto riguarda le maglie possiamo scrivere tre equazioni:
                              $f_{1}=I_{1}r_{1}+I_{3}R\$
                              $f_{2}=I_{2}r_{2}+I_{3}R\$
                              $f_{1}-f_{2}=I_{1}r_{1}-I_{2}r_{2}\$
ma chiaramente l'ultima equazione si ottiene dalla differenza delle due che la precedono, quindi 
il sistema completo di tre equazioni in tre incognite è solo quello fatto da:
                              $I_{1}+I_{2}=I_{3}\$
                              $f_{1}=I_{1}r_{1}+I_{3}R\$
                              $f_{2}=I_{2}r_{2}+I_{3}R\$

Teorema di Thevenin

Un dipolo attivo costituito da resistenze e generatori di f.e.m.

Dalle leggi di Kirchhoff segue il teorema Thevenin utile nella pratica del calcolo dei circuiti elettrici.

Il Teorema di Thevenin afferma che qualunque rete lineare attiva, facente capo a due terminal $AB\$, si comporta, nei riguardi del carico su cui è chiusa, in modo del tutto equivalente ad un generatore di opportuna f.e.m ed una opportuna resistenza interna

Consideriamo una rete elettrica comunque complessa, costituita da generatori di f.e.m. e resistenze (variamente collegati tra di loro). Supponiamo di inserire tra due punti qualunque $A\$ e $B\$ della rete un qualunque elemento circuitale (chiamiamo tale elemento circuitale, esterno alla rete, carico).

Tale sistema è schematizzato in figura, in cui il blocco rettangolare contenente i simboli della resistenza e del generatore di f.e.m. rappresenta la rete in esame, di cui sono lasciati in evidenza solo i punti $A\$ e $B\$ ed il carico $L\$ (che può essere una resistenza, un condensatore, una induttanza, un generatore di f.e.m, un elemento non Ohmico oppure una combinazione qualunque di tali elementi).

Una rete così fatta è chiamata bipolo attivo ed i punti $A\$ e $B\$ sono i morsetti del bipolo attivo.

Un dipolo attivo costituito da resistenze e generatori di f.e.m.

Il teorema di Thevenin afferma che qualunque bipolo attivo si comporta nei riguardi del carico su cui è chiuso in modo del tutto equivalente ad un generatore di tensione avente opportuna f.e.m. ed opportuna resistenza interna. Risulta cioè che agli effetti della tensione ai capi del carico e della corrente che lo attraversa, il bipolo attivo, comunque complesso, è equivalente ad un generatore di tensione $f_{th}\$ ed una resistenza in serie $R_{th}\$ ad esso. $f_{th}\$ non è altro che la d.d.p. che si presenta ai capi del bipolo attivo, quando non è chiuso sul carico. $R_{th}\$ invece è la resistenza vista dai morsetti $A\$ e $B\$ del dipolo attivo, quando in esso tutti i generatori sono stati soppressi e sostituiti dalle loro resistenze interne (o se sono trascurabili da un corto circuito).

Generatori di f.e.m. in serie e in parallelo

Dal teorema di Thevenin si dimostra facilmente che se ho $n\$ generatori di f.e.m. $f_{i}\$ in serie con una resistenza interna $r_{i}\$ è equivalente ad avere un unico generatore di f.e.m. con:

$f_{e}=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\$

e resistenza interna:

$r_{e}=\sum _{i=1}^{n}r_{i}\$

Sempre dal teorema di Thevenin, per quanto riguarda il parallelo di due soli generatori ($f_{1}\$, $r_{1}\$, $f_{2}\$, $r_{2}\$) (si generalizza facilmente il caso a $n\$ generatori) che siano disposti con i morsetti concordi si dimostra il sistema equivale ad un generatore di:

$f_{e}=f_{1}-{\frac {f_{1}-f_{2}}{r_{1}+r_{2}}}r_{1}\$

$r_{e}={\frac {r_{1}r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\$

Alcuni esempi sono di aiuto per comprendere quanto detto: Resistenze serie e parallelo, due maglie, tre maglie, carica di un telefonino, due generatori reali su un carico variabile.

Carica e scarica dei condensatori

Scarica

Carica e scarica di un condensatore

Immaginiamo di avere un condensatore carico con una carica iniziale $Q_{o}\$ (positiva sulla armatura superiore) e al tempo $t=0\$ mettiamo in contatto le due armature cariche attraverso la resistenza $R\$ (indicato simbolicamente nella figura dall'interruttore che connette i punti più a destra). Ad ogni istante la carica presente sulla armatura positiva sarà $Q(t)\$ ed un corrente $I(t)\$ scorrerà nella resistenza $R\$, ma dovendo essere nulla la circuitazione del campo elettrico nella maglia costituita dai due elementi circuitali detti le differenze di potenziale ai loro capi devono essere eguali istante per istante:

${\frac {Q(t)}{C}}=I(t)R\$

Avendo scelto come verso della corrente il senso contro orario (dal potenziale maggiore l'armatura superiore a quello inferiore). La derivata cambiata di segno della carica istantanea è pari a tale corrente, omettendo per semplicità la dipendenza dal tempo:

$I=-{\frac {dQ}{dt}}\$

Quindi l'equazione della maglia diventa

${\frac {Q(t)}{C}}=-R{\frac {dQ}{dt}}\$

Separando le variabili:

${\frac {dQ}{Q}}=-{\frac {dt}{RC}}\$

Se definiamo la costante di tempo :$RC=\tau \$ e integriamo dall'istante iniziale al tempo generico $t'\$, quando la carica ha un valore $Q'\$:

$\int _{Q_{o}}^{Q'}{\frac {dQ}{Q}}=-\int _{0}^{t'}{\frac {dt}{RC}}\$

$Q'=Q_{o}e^{-t'/\tau }\$

cambiando di nome alle variabili mute:

$Q(t)=Q_{o}e^{-t/\tau }\$

La costante di tempo, data dal prodotto della resistenza per la capacità, determina la velocità con cui si scarica il condensatore la cui carica diminuisce con legge esponenziale, chiaramente la tensione ai capi del condensatore $V_{C}\$ diminuisce anche essa esponenzialmente nel tempo:

$V_{C}(t)={\frac {Q_{o}}{C}}e^{-t/\tau }\$

Come anche la corrente circolante nella maglia:

$I=-{\frac {dQ}{dt}}={\frac {Q_{o}}{\tau }}e^{-t/\tau }={\frac {Q_{o}}{RC}}e^{-t/\tau }\$

Dal punto di vista del bilancio energetico, l'energia totale dissipata per effetto Joule, nella resistenza, è pari a:

$E_{d}=\int _{0}^{\infty }I(t)^{2}Rdt=R{\frac {Q_{o}^{2}}{(RC)^{2}}}\int _{0}^{\infty }e^{-2t/RC}dt={\frac {1}{2}}{\frac {Q_{o}^{2}}{C}}\$

Cioè tutta l'energia immagazzinata nel condensatore inizialmente viene dissipata per effetto Joule nella resistenza (rispettando la conservazione dell'energia).

Carica

Il processo inverso corrisponde (fare sempre riferimento alla figura) al connettere un condensatore inizialmente scarico ad un generatore di forza elettromotrice. In questo caso il segno scelto per la corrente è quello orario e l'equazione della maglia è:

$f=RI(t)+{\frac {Q(t)}{C}}\$

In questo caso ovviamente la corrente è la semplice derivata della carica nel tempo:

$I={\frac {dQ}{dt}}\$

Quindi l'equazione della maglia diventa:

$f=R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q(t)}{C}}\$

separando le variabili:

${\frac {dQ}{Q-Cf}}=-{\frac {dt}{\tau }}\$

Che integrata:

$\int _{0}^{Q'}{\frac {dQ}{Q-Cf}}=\int _{0}^{t'}-{\frac {dt}{\tau }}\$

$Q(t)=Cf\left(1-e^{-t/\tau }\right)\$

Quindi la tensione ai capi del condensatore cresce con la stessa legge:

$V_{C}(t)=f\left(1-e^{-t/\tau }\right)\$

Mentre la corrente di carica sarà:

$I={\frac {dQ}{dt}}={\frac {f}{R}}e^{-t/\tau }\$

Dal punto di vista del bilancio energetico, il sistema non è isolato e quindi mentre l'energia totale fornita dal generatore di f.e.m. vale:

$E_{f}=\int _{0}^{\infty }fI(t)dt={\frac {f^{2}}{R}}\int _{0}^{\infty }e^{-t/\tau }dt=Cf^{2}\$

L'energia immagazzinata nel condesatore vale come già visto:

$E_{c}={\frac {1}{2}}Cf^{2}\$

Che è la metà di quella fornita dal generatore in quanto il resto dell'energia viene dissipata per effetto Joule nella resistenza, infatti:

$E_{d}=\int _{0}^{\infty }I(t)^{2}Rdt=R{\frac {f^{2}}{R^{2}}}\int _{0}^{\infty }e^{-2t/RC}dt={\frac {1}{2}}Cf^{2}\$

Riepilogando la carica e la scarica di un condensatore sono fenomeni che si svolgono in un tempo determinato dalla costante di tempo del circuito. Il condensatore nel processo di carica si comporta come una resistenza variabile nulla nell'istante iniziale e sempre maggiore via via che viene caricato. Nel processo di scarica si comporta come un generatore di f.e.m. variabile con f.e.m. iniziale eguale alla carica iniziale divisa la capacità.

Alcuni esempi: connessione di un condensatore carico ad uno scarico, carica di un condensatore, carica di un condensore con generatore reale, carica di un condensatore con due resistenze nel circuito, scarica di un condensatore con due resistenze, due condensatori con una resistenza tra di loro.

Argomento seguente: Campi magnetici