Spirale di Teodoro

La spirale di Teodoro costruita fino al triangolo di ipotenusa ${\sqrt {17}}$ come originariamente fece Teodoro di Cyrene.

In geometria, la spirale di Teodoro (chiamata anche spirale pitagorica) è una spirale formata datriangoli rettangoli posti con ognuno con l'ipotenusa sovrapposta al cateto maggiore del seguente. È nominata in onore di Teodoro di Cirene.

Storia

Sebbene tutta l'opera di Teodoro sia andata perduta, Platone ha inserito Teodoro nel suo dialogo Teeteto, dove racconta della sua opera. Si presume che Teodoro abbia dimostrato che tutte le radici quadrate degli interi non quadrati da 3 a 17 sono irrazionali proprio mediante la Spirale di Teodoro.

Platone non attribuisce l'irrazionalità della radice quadrata di 2 a Teodoro, poiché ben nota già prima di lui. Teodoro e Teeteto dividono tuttavia i numeri razionali e i numeri irrazionali in due diverse categorie.

Costruzione

La costruzione inizia da un triangolo rettangolo isoscele, con entrambi i cateti di lunghezza unitaria. Si forma quindi un altro triangolo rettangolo che ha per cateto l'ipotenusa del triangolo precedente (quindi di lunghezza pari alla ${\sqrt {2}}$ ) e l'altro cateto avente sempre lunghezza uguale a 1; la lunghezza dell'ipotenusa di questo secondo triangolo è quindi la ${\sqrt {3}}$. Il processo quindi si ripete; il triangolo nesimo nella sequenza è un triangolo rettangolo con i cateti rispettivamente pari a ${\sqrt {n}}$ e 1, e con ipotenusa pari a ${\sqrt {n+1}}$. Ad esempio, il sedicesimo triangolo ha i lati che misurano 4 (= ${\sqrt {16}}$), 1 e ${\sqrt {17}}$.