Operatore di Weingarten
In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, l'operatore di Weingarten è una trasformazione lineare costruita a partire da una superficie contenuta nello spazio tridimensionale.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Se è una superficie regolare ed un campo di versori normali su questa superficie, l'operatore forma o di Weingarten è un'applicazione lineare in un punto P:
tale che ad ogni curva u nel punto P sulla superficie sia associato un operatore:
Esso è in verità un endomorfismo del piano tangente ed è autoaggiunto, cioè:
esso dunque è rappresentato da una matrice: gli invarianti di questa matrice (e quindi dell'operatore di Weingarten) hanno un significato geometrico notevole per le caratteristiche delle superfici.
Curvatura delle superfici
[modifica | modifica wikitesto]Grazie all'operatore di Weingarten possiamo esprimere la seconda forma differenziale di Gauss come:
A questo punto è possibile definire le curvature principali della superficie in un punto P come gli autovalori dell'operatore di Weingarten e, in corrispondenza di essi si trovano le direzioni principali della superficie che sono gli autovettori.
Inoltre la traccia dell'operatore di Weingarten è esattamente la curvatura media della superficie in quel punto:
e il suo determinante è proprio la curvatura gaussiana della superficie:
Operatore forma
[modifica | modifica wikitesto]L'operatore di Weingarten è un operatore forma dato per definizione:
in modo che il problema agli autovalori:
dove e , k è l'autovalore e l'autovettore corrispondente; abbia soluzioni se si annulla il determinante:
I due autovalori di questo determinante sono esattamente le curvature principali massima e minima della superficie in un punto P.
Il determinante di questo operatore è la curvatura di Gauss:
La traccia di questo operatore è la curvatura media: