Raggio di iniettività
In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, il raggio di iniettività è un numero reale positivo che misura il "grado di collassamento" di una varietà riemanniana in un punto o globalmente.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Sia una varietà riemanniana. Per ogni punto di è definita la mappa esponenziale
su un insieme aperto dello spazio tangente in , contenente l'origine.
Sullo spazio tangente è definito un prodotto scalare, dato dal tensore metrico della varietà. Risulta quindi definita la palla di raggio centrata nell'origine
Il raggio di iniettività di in è il massimo tale che la mappa
è iniettiva. Viene spesso indicato con
Il raggio di iniettività di è quindi definito come l'estremo inferiore di tutti i raggi di iniettività nei punti:
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]Raggio locale positivo
[modifica | modifica wikitesto]Il differenziale di è invertibile. Per il teorema di invertibilità locale, la funzione è quindi un diffeomorfismo locale nell'origine: il raggio di iniettività è quindi strettamente positivo in ogni punto .
Geodetiche
[modifica | modifica wikitesto]Se la varietà è completa, il raggio di iniettività è pari a metà della minima lunghezza di una geodetica chiusa passante per .
Compattezza e raggio globale
[modifica | modifica wikitesto]Se la varietà è compatta, il raggio di iniettività globale è maggiore di zero. Qualsiasi geodetica chiusa ha quindi lunghezza maggiore di .
Bibliografia
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