사원수

사원수 (四元數, quaternion)란 복소수를 확장하여 만든 새로운 수 체계이다. 사원수는 윌리엄 해밀턴경이 최초로 만들었으며, 따라서 해밀턴수라고도 부르기도 한다. 사원수의 가장 특이한 점은 수가 가환적이지 않다는 것이다. 실수나 복소수는 곱하는 순서에 관계 없이 항상 계산 결과가 같지만 사원수는 왼쪽에서 곱하느냐 오른쪽에서 곱하느냐에 따라 계산 결과가 달라진다. 즉, 사원수에선 곱셈의 순서가 매우 중요하다.

역사

사원수 기하학(Quaternionic algebra)은 아일랜드의 수학자, 윌리엄 로원 해밀턴경(Sir William Rowan Hamilton)이 1843년에 발견하였다. 그러나 강체의 회전을 설명하는 사원수 표현은 그보다 훨씬 오래전에 사용되었으며, 1776년의 오일러(Leonhard Euler)의 저작에서도 찾을 수 있다.

해밀턴은 복소수가 2차원 평면상의 점으로 표현될 수 있다는 사실로부터, 3차원 공간에서 점을 표현하는 같은 방법을 찾으려 하였다. 3차원 공간에서의 정점은 3개의 수로 이루어지며, 해밀턴은 그 3개의 수들을 어떻게 더하고 곱할 수 있는지에 관해 생각해왔다. 그러나 그는 두개의 정점간의 나누기를 어떻게 정의할지 알지 못했고, 난관에 부딛히고 말았다.

1843년 10월 16일, 해밀턴은 그의 아내와 더블린(Dublin)의 Royal Canal을 걷고 있었다. 브로엄 다리(Brougham Bridge, 현재는 Broom Bridge)를 걷고 있을 때, 나누기에 관한 해답이 그의 뇌리를 스쳤다. 그는 3개의 요소(Triples)를 나누지는 못하지만, 4개의 요소(Quadruples)를 나눌 수 있다는 걸 생각했다. 4개의 요소 중, 3요소를 이용해 3차원 공간의 정점을 표현 할 수 있다. 해밀턴은 3차원 공간상의 정점에 대한 그의 새로운 수의 시스템을 표현할 수 있었다. 그는 그 시스템의 기본적인 규칙을 다리에 새겨놓았다.

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1.$

해밀턴은 위의 기본적인 규칙을 적용한 4개의 요소를 사원수라 명명했다. 그 후 그는 사원수를 연구하고 알리는데 그의 남은 여생을 바쳤다. 그는 "Quaternionists"라는 학교를 설립하고, 몇권의 책을 출판하여 사원수를 퍼트렸다. 그의 마지막 책인 "Elements of Quaternions"는 800여 페이지로 구성되어 있고, 그의 죽음 직후에 출판되었다.

해밀턴의 죽음 이후, 그의 제자인 Peter Guthrie Tait은 사원수의 연구를 계속하였다. 그때, 사원수는 더블린에서 의무적인 시험의 하나였었다. 현재는 공간 운동학, 맥스월 방정식등의 벡터를 이용하여 설명되는 물리와 기하학의 논제들은 그 당시에는 모두 사원수를 이용하여 설명되었다. 또한 사원수에 관한 전문적인 연구학회인 "The Quaternion Society"도 존재하였다.

1880년대 중반부터 Josiah Willard Gibbs와 Oliver Heaviside가 제안한 벡터 해석(Vector Analysis)이 사원수 표현을 대신하기 시작했다. 벡터 해석은 사원수와 같은 현상을 설명하였기 때문에, 고전 사원수 연구에서 많은 아이디어와 용어등을 빌려왔다. 그러나 벡터 해석은 간결한 개념과 표기법을 갖고 있었고, 사원수는 수학과 물리에서 비주류가 되었다. 이런 결과는 해밀턴의 사원수는 이해하기 난해하였고, 해밀턴의 표기는 친숙하지 않았으며, 그의 저작물에 길고 불투명한 표현이 많았기 때문이다.

그러나 사원수는 20세기 말에 공간상에서의 회전에 관한 사원수의 유용성에 의해서 다시 주목받기 시작했다. 사원수를 이용한 회전의 표현은 행렬의 그것과 비교해 더욱 간결했고 계산이 빨랐다. 이런 이유로, 사원수는 컴퓨터 그래픽(Computer Graphics), 제어이론(Control theory), 신호처리(Signal Processing), 자세제어(attitue control), 물리(physics), 바이오인포매틱스(bioinformatics), 분자동역학(molecular dynamics), 컴퓨터 시뮬레이션(computer simulation), orbital mechanics등에 사용되고 있다.

정의

사원수 전체를 이루는 집합 $\mathbf {H}$ 에는 실수전체를 이루는 체 $\mathbf {R}$ 위의 ${1,i,j,k}$ 를 기저로 하는 4차원 벡터공간으로서의 구조를 더하여 다음과 같이 곱을 정의하고 있다.：

1. 곱은 결합법칙을 만족하며, 합에 대한 분배법칙도 만족한다.
2. $i,j,k$ 는 각자의 제곱이 -1과 같다.

   $i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1$

3. $ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j,ijk=jki=kij=-1$

3번의 조건에서부터 교환법칙이 성립하지 않는 것을 알 수 있다. 그러나 0이외의 원은 곱에 대한 역원을 갖는다. 즉 4원수 전체를 이루는 집합 $\mathbf {H}$ 은 비가환군이다. $\mathbf {H}$ 를 사원수환이라고 부른다.

사원수 $\ \mathbf {q} =x+yi+zj+wk$ 에 대하여,

${\bar {\mathbf {q} }}=x-yi-zj-wk$

로 쓰는 사원수 ${\bar {\mathbf {q} }}$ 를 사원수 $\mathbf {q}$ 의 켤레 혹은 켤레사원수라 부른다. 사원수 $\mathbf {q}$ 의 노름 $N(\mathbf {q} )$ 또는 절대값 $|\mathbf {q} |$ 은 각기

$N(\mathbf {q} )=\mathbf {q} {\bar {\mathbf {q} }}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}$

또는

$|\mathbf {q} |={\sqrt {N(\mathbf {q} )}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}}$

로 정의된다. 틀:Link FA