애트우드 기계 (Atwood machine )는 1784년에 조지 애트우드 가 등가속도 운동에서 뉴턴의 운동 법칙 을 증명하기 위해 고안한 실험 장치이다. 고전역학 의 기본적 원리를 설명하는 수업 자료로 종종 사용된다.
이상적인 애트우드 기계는 질량
m
1
{\displaystyle m_{1}}
,
m
2
{\displaystyle m_{2}}
인 물체 두 개를 질량과 신축성을 무시할 수 있는 줄로 연결하여 질량을 무시할 수 있는 도르래 에 걸어놓은 형태이다.[1]
m
1
{\displaystyle m_{1}}
=
m
2
{\displaystyle m_{2}}
라면, 질량의 위치에 관계없이 기계는 역학적 평형 을 이룬다.
m
1
{\displaystyle m_{1}}
≠
m
2
{\displaystyle m_{2}}
라면, 두 질량은 일정한 가속도로 운동하게 된다.
애트우드 기계를 간략하게 표현한 자유물체도 . 가속도 벡터상에서
m
1
{\displaystyle m_{1}}
이 아래로 운동하고
m
2
{\displaystyle m_{2}}
가 위로 운동하므로,
m
1
{\displaystyle m_{1}}
>
m
2
{\displaystyle m_{2}}
라는 사실을 알 수 있다.
힘을 분석하여 가속도의 방정식을 유도할 수 있다.
줄의 질량과 신축성, 도르래의 질량을 무시할 수 있다고 할 때, 이 계에서 고려해야 하는 힘은 장력 (
T
{\displaystyle T}
), 두 물체의 무게(
W
1
{\displaystyle W_{1}}
과
W
2
{\displaystyle W_{2}}
) 뿐이다. 가속도를 알아내기 위해 두 물체에 각각 작용하는 힘을 밝힐 필요가 있다.
뉴턴 제2법칙 을 사용하여(
m
1
{\displaystyle m_{1}}
>
m
2
{\displaystyle m_{2}}
라고 기호 약속 한다) 가속도(
a
{\displaystyle a}
)를 구하기 위한 연립 방정식 을 세울 수 있다.
가속도
a
{\displaystyle a}
는
m
1
{\displaystyle m_{1}}
에서는 아래 방향이 양의 방향,
m
2
{\displaystyle m_{2}}
에서는 위 방향이 양의 방향이라고 약속하자.
m
1
{\displaystyle m_{1}}
과
m
2
{\displaystyle m_{2}}
의 무게는 각각
W
1
=
m
1
g
{\displaystyle W_{1}=m_{1}g}
와
W
2
=
m
2
g
{\displaystyle W_{2}=m_{2}g}
로 나타난다.
m1 에 작용하는 힘은
m
1
g
−
T
=
m
1
a
{\displaystyle \;m_{1}g-T=m_{1}a}
m2 에 작용하는 힘은
T
−
m
2
g
=
m
2
a
{\displaystyle \;T-m_{2}g=m_{2}a}
위의 두 방정식을 통째로 더하면 다음 식을 얻는다.
m
1
g
−
m
2
g
=
m
1
a
+
m
2
a
{\displaystyle \;m_{1}g-m_{2}g=m_{1}a+m_{2}a}
,
그러므로 가속도 식을 다음과 같이 얻을 수 있다.
a
=
m
1
−
m
2
m
1
+
m
2
g
{\displaystyle a={m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}g}
역으로, 물체들의 운동 시간을 측정하여 등가속도 운동식
d
=
1
2
a
t
2
{\displaystyle d={1 \over 2}at^{2}}
에 대입 계산함으로써 중력가속도
g
{\displaystyle g}
를 구할 수도 있다.
라그랑주 역학 에서 운동방정식을 유도할 때도 애트우드 기계가 사용되는 경우도 있다.[2]
장력을 알아볼 때는, 앞에서 구한 가속도를 두 물체의 힘 방정식 중 어느 한 쪽에 대입하면 된다.
a
=
m
1
−
m
2
m
1
+
m
2
g
{\displaystyle a={m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}g}
예컨대 이것을
m
1
a
=
m
1
g
−
T
{\displaystyle m_{1}a=m_{1}g-T}
에 대입하면,
T
=
2
g
m
1
m
2
m
1
+
m
2
{\displaystyle T={2gm_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}
를 얻는다.
이와 같은 방법으로 장력을 얻을 수 있다.
m
1
{\displaystyle m_{1}}
과
m
2
{\displaystyle m_{2}}
의 질량 차 이가 매우 작다면, 반경
r
{\displaystyle r}
인 도르래의 회전관성
I
{\displaystyle I}
를 무시할 수 없다. 줄이 미끄러지지 않는 상황에서 도르래의 각가속도
α
{\displaystyle \alpha }
는 다음과 같이 주어진다.
α
=
a
r
{\displaystyle \alpha ={a \over r}}
이때 알짜 회전력
τ
n
e
t
{\displaystyle \tau _{net}}
는 다음과 같다.
τ
n
e
t
=
(
T
1
−
T
2
)
r
−
τ
f
r
i
c
t
i
o
n
=
I
α
{\displaystyle \tau _{net}=\left(T_{1}-T_{2}\right)r-\tau _{friction}=I\alpha }
매달린 물체들에 뉴턴 제2법칙을 적용한 것과 조합하면 다음과 같은
a
{\displaystyle a}
,
T
1
{\displaystyle T_{1}}
,
T
2
{\displaystyle T_{2}}
를 얻는다.
가속도
a
{\displaystyle a}
는
a
=
(
m
1
−
m
2
)
−
τ
f
r
i
c
t
i
o
n
r
g
m
1
+
m
2
+
I
r
2
g
{\displaystyle a={{(m_{1}-m_{2})-{\tau _{friction} \over rg}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}g}
줄의
m
1
{\displaystyle m_{1}}
에 가장 가까운 부분의 장력
T
1
{\displaystyle T_{1}}
은
T
1
=
m
1
g
(
2
m
2
+
I
r
2
+
τ
f
r
i
c
t
i
o
n
r
g
)
m
1
+
m
2
+
I
r
2
{\displaystyle T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau _{friction}} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}
줄의
m
2
{\displaystyle m_{2}}
에 가장 가까운 부분의 장력
T
2
{\displaystyle T_{2}}
는
T
2
=
m
2
g
(
2
m
1
+
I
r
2
+
τ
f
r
i
c
t
i
o
n
r
g
)
m
1
+
m
2
+
I
r
2
{\displaystyle T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau _{friction}} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}
줄의 마찰을 무시한다면(하지만 도르래의 관성과 도르래에 걸친 줄의 변형력은 무시할 수 없다), 다음과 같이 방정식을 간략화할 수 있다.
가속도
a
{\displaystyle a}
는
a
=
(
m
1
−
m
2
)
m
1
+
m
2
+
I
r
2
g
{\displaystyle a={{(m_{1}-m_{2})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}g}
줄의
m
1
{\displaystyle m_{1}}
에 가장 가까운 부분의 장력
T
1
{\displaystyle T_{1}}
은
T
1
=
m
1
g
(
2
m
2
+
I
r
2
)
m
1
+
m
2
+
I
r
2
{\displaystyle T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}
줄의
m
2
{\displaystyle m_{2}}
에 가장 가까운 부분의 장력
T
2
{\displaystyle T_{2}}
는
T
2
=
m
2
g
(
2
m
1
+
I
r
2
)
m
1
+
m
2
+
I
r
2
{\displaystyle T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}
↑
Tipler, Paul A. (1991). 《Physics For Scientists and Engineers, Third Edition, Extended Version》. New York: Worth Publishers. ISBN 0-87901-432-6 . Chapter 6, example 6-13, page 160.
↑
Goldstein, Herbert (1980). 《Classical Mechanics, second Edition》. New Delhi: Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition. ISBN 81-85015-53-8 .
Section 1-6, example 2, pages 26-27.