후레비치 준동형

비슷한 이름의 후르비츠의 정리에 관해서는 해당 문서를 참고하십시오.

대수적 위상수학에서 후레비치 준동형(Hurewicz準同型, 영어: Hurewicz homomorphism)은 어떤 위상 공간의 호모토피 군에서 호몰로지 군으로 가는 군 준동형이다. 특수한 경우, 이 군 준동형은 후레비치 정리(영어: Hurewicz theorem)에 따라 군의 동형을 이룬다.

정의

점을 가진 공간 $(X,\bullet )$ 및 밑점을 보존하는 연속 함수

$f\colon (\mathbb {S} ^{n},\bullet _{\mathbb {S} ^{n}})\to (X,\bullet _{X})$

가 주어졌을 때, $\mathbb {S} ^{n}$의 기본류 $[\mathbb {S} ^{n}]\in \operatorname {H} _{n}(\mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )$를 특이 호몰로지에 따라 밀어서 다음 호몰로지류를 얻는다.

$f^{*}[\mathbb {S} ^{n}]\in \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )$

이 때 이 호몰로지류와 $f$의 호모토피류 $[f]\in \pi _{n}(X,\bullet _{X})$를 대응하는 함수 $h_{n}$를 정의할 수 있다.

$h_{n}\colon \pi _{n}(X)\to \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )$

$h_{n}\colon [f]\mapsto f^{*}[\mathbb {S} ^{n}]$

이 함수를 후레비치 준동형이라고 한다.

성질

준동형성

$n\geq 1$일 경우, 후레비치 준동형 $h_{n}\colon \pi _{n}(X)\to \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )$은 군 준동형을 이룬다.

$n=0$일 경우 $\pi _{0}(X)$는 일반적으로 군의 구조를 갖지 않으며, 만약 $X$가 위상군이라도 이는 일반적으로 군 준동형을 이루지 않는다. (예를 들어, $X=G$가 이산 유한군일 때, $h_{0}$는 군환으로 가는 단사 함수 $G\hookrightarrow \mathbb {Z} [G]$에 대응하며, 이는 군 준동형이 아니다.)

함자성

$n\geq 2$일 경우, 후레비치 준동형은 함자

$\pi _{n}(-)\colon \operatorname {Top} _{\bullet }\to \operatorname {Ab}$

$\operatorname {H} _{n}(-;\mathbb {Z} )\colon \operatorname {Top} _{\bullet }\to \operatorname {Ab}$

사이의 자연 변환 $h_{n}\colon \pi _{n}\Rightarrow \operatorname {H} _{n}(-;\mathbb {Z} )$을 이룬다.

따라서 축소 현수 함자 $\Sigma$에 대하여 다음 사각형이 가환한다.

${\begin{matrix}\pi _{n}(X)&{\xrightarrow {h}}&\operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )\\{\scriptstyle \Sigma }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \Sigma \\\pi _{n+1}(\Sigma X)&{\xrightarrow[{h}]{}}&\operatorname {H} _{n+1}(\Sigma X;\mathbb {Z} )\end{matrix}}$

$n=1$ 또는 $n=0$인 경우에는 호모토피 군이 아벨 군이 아니므로 함자의 공역을 $\operatorname {Ab}$ 대신 각각 $\operatorname {Grp}$ 또는 $\operatorname {Set}$로 놓아야 한다.

낮은 차수의 후레비치 준동형

$n=0$일 경우, $\pi _{0}(X)$는 $X$의 경로 연결 성분의 집합이며, $\operatorname {H} _{0}(X;\mathbb {Z} )$는 $X$의 경로 연결 성분들의 집합으로부터 생성되는 자유 아벨 군이다. 따라서, 0차 후레비치 사상은 집합에서 그 집합으로 생성되는 자유 아벨 군으로 가는 표준적인 포함 함수이다. 따라서 이 경우 후레비치 준동형은 단사 함수이다.

$n=1$이고 $X$가 경로 연결 공간인 경우, 후레비치 준동형은 아벨화이다. 즉, $\operatorname {H} _{1}(X;\mathbb {Z} )$는 기본군 $\pi _{1}(X)$의 아벨화이다. 따라서 이 경우 후레비치 준동형은 전사 함수이다.

$n>1$일 경우, 후레비치 준동형은 일반적으로 전사 함수도, 단사 함수도 아니다.

n-연결 공간 위의 후레비치 준동형

후레비치 정리에 따르면, 임의의 위상 공간 $X$ 위의 후레베치 준동형

$h_{n}\colon \pi _{n}(X)\to \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )$

에 대하여, 다음이 성립한다.

• 만약 $X$가 경로 연결 공간(즉, 0-연결 공간)이며 $n=1$이라면, $h_{n}$은 아벨화 준동형이다.
• 만약 $X$가 $(n-1)$-연결 공간이며 $n\geq 2$이라면, $h_{n}$은 아벨 군끼리의 동형 사상이다.
• 만약 $X$가 $(n-2)$-연결 공간이며 $n\geq 3$라면, $h_{n}$은 아벨 군끼리의 단사 군 준동형이다. 그러므로, $\operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )$는 $\operatorname {\pi } _{n}(X)$의 몫군이다.

예

$n$개의 원들의 쐐기합 $(\mathbb {S} ^{1})^{\vee n}$을 생각하자.

• $(\mathbb {S} ^{1})^{\vee n}$의 기본군은 자유군 $\langle a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n}\rangle$이며, 그 생성원 $a_{i}$는 모두 $n$개이며 각 원에 대응한다.
• $(\mathbb {S} ^{1})^{\vee n}$의 1차 호몰로지 군은 자유 아벨 군 $\mathbb {Z} ^{\oplus n}$이며, 그 $n$개의 생성원 역시 각 원에 대응한다.

이 경우, 후레비치 준동형 $h_{1}\colon \pi _{1}\to \operatorname {H} _{1}$은 아벨화 사상이며, 각 원에 대응하는 자유군의 생성원을 같은 원에 대응하는 자유 아벨 군 생성원에 대등시킨다.

역사

1935년 비톨트 후레비치가 후레비치 준동형을 정의하였다.

외부 링크

• “Hurewicz theorem”. 《nLab》 (영어).