[go: nahoru, domu]

Naar inhoud springen

Grammatrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de lineaire algebra is de grammatrix van een -tal vectoren in een vectorruimte met het inwendige product de matrix van de inproducten van de vectoren, waarvan de elementen gegeven worden door:

[1]

Als de vectoren reëel zijn en de kolommen van de matrix vormen, dan is de grammatrix een symmetrische matrix.

De grammatrix is dus een bilineaire vorm en is genoemd naar Jørgen Pedersen Gram.

De inhoud van een parallellepipedum is in iedere dimensie gelijk aan de determinant van de vectoren waardoor wordt opgespannen, maar het aantal vectoren moet dan gelijk aan zijn, de dimensie van de ruimte waarin ligt. Het gaat in het tweedimensionale geval om de oppervlakte van een vlak. Het is met de grammatrix mogelijk de inhoud van een parallellepipedum uit te rekenen, dat door minder dan vectoren wordt opgespannen, bijvoorbeeld van een vlak in de driedimensionale ruimte. Noem het volume van , dan is

Het is op deze manier mogelijk te controleren dat een gegeven aantal vectoren in een ruimte lineaire onafhankelijk zijn, omdat zij dat alleen zijn als het volume dat zij opspannen geen nul is, dus wanneer de determinant van hun grammatrix ongelijk aan nul is.

Wanneer de vectorruimte, waaruit de elementen van de vectoren komen, die de grammatrix bepalen, een complexe vectorruimte is, is een hermitische matrix.